ふてい

質問

高校で　アクティブラーニング が　2019 奔流となっている　らしい...
　　　　[正解の在る] 事例　↓　に　遭遇しました;

>m=2元 n=2次 不定方程式
https://www.chart.co.jp/top/movie/data/AL_print3.pdf
　　　　　の　最後の　課題　と　追加問題を
　　　　　先ず　◆多様な発想で解いて下さい；
　　　　　 は　瞬時に解決された筈；

　　各　解答　のプロセス　を　隠匿することなく　記述願います;

上を　解いたら　お次は　↓　です；[お願い致します]
18 x^3 + 147 x^2 y + 39 x^2 z + 390 x y^2 + 273 x y z - 63 x z^2 +
336 y^3 + 444 y^2 z - 126 y z^2 - 54 z^3 - 209040=0
>m=3元 n=3次 不定方程式

解答　のプロセス　を　隠匿することなく　記述願います;

回答No.4

staratras

No.1です。計算のミスによる数え落としがありましたので、追加します。失礼しました。

誤：{n+5(y+1)}=96、{n-5(y+1)}=6のとき　n=51、y=8、(1)に代入してxが整数にならず不適
正：{n+5(y+1)}=96、{n-5(y+1)}=6のとき　n=51、y=8、(1)に代入してx=-4

誤：{n+5(y+1)}=144、{n-5(y+1)}=4のとき　n=74 y=13、(1)に代入してxが整数にならず不適
正：{n+5(y+1)}=144、{n-5(y+1)}=4のとき　n=74 y=13、(1)に代入してx=-7,x=-44

まとめると(x,y)=(-4,8),(-7,13),(-44,13)が不足していました。

回答No.3

muturajcp

#2です.訂正します
1)
2x^2+7xy+3y^2+11x+13y=60
↓両辺に12を加えると
(x+3y+4)(2x+y+3)=72
x+3y+4と2x+y+3の値はそれぞれ
72の約数
{(2^j)(3^k)}_{j=0～3,k=0～2}
の12通りあるから
a=(2^j)(3^k)
b=2^(3-j)3^(2-k)
x+3y+4=a
2x+y+3=b
とすると
5y=2a-b-5
5x=3b-a-5
だから
2a-b=0(mod5)
3b-a=0(mod5)
の時
x=(3b-a)/5-1
y=(2a-b)/5-1
が整数となる

(a,b)=(1,72)→2*1-72=-70=0(mod5),3*72-1=215=0(mod5)
(x+3y+4=1)&(2x+y+3=72)→(x,y)=(42,-15)
(x+3y+4=-1)&(2x+y+3=-72)→(x,y)=(-44,13)

(a,b)=(2,36)→2a-b=2*2-36=-32≠0(mod5)→(a,b)≠(2,36)
(a,b)=(3,24)→2a-b=2*3-24=-18≠0(mod5)→(a,b)≠(3,24)

(a,b)=(4,18)→2a-b=2*4-18=-10=0(mod5),3b-a=3*18-4=50=0(mod5)
(x+3y+4=4)&(2x+y+3=18)→(x,y)=(9,-3)
(x+3y+4=-4)&(2x+y+3=-18)→(x,y)=(-11,1)

(a,b)=(6,12)→2a-b=2*6-12=0(mod5),3b-a=3*12-6=30=0(mod5)
(x+3y+4=6)&(2x+y+3=12)→(x,y)=(5,-1)
(x+3y+4=-6)&(2x+y+3=-12)→(x,y)=(-7,-1)

(a,b)=(8,9)→2a-b=2*8-9=7≠0(mod5)→(a,b)≠(8,9)

(a,b)=(9,8)→2a-b=2*9-8=0(mod5),3b-a=3*8-9=15=0(mod5)
(x+3y+4=9)&(2x+y+3=8)→(x,y)=(2,1)
(x+3y+4=-9)&(2x+y+3=-8)→(x,y)=(-4,-3)

(a,b)=(12,6)→2a-b=2*12-6=18≠0(mod5)→(a,b)≠(12,6)

(a,b)=(24,3)→2a-b=2*24-3=45=0(mod5),3b-a=3*3-24=-15=0(mod5)
(x+3y+4=24)&(2x+y+3=3)→(x,y)=(-4,8)
(x+3y+4=-24)&(2x+y+3=-3)→(x,y)=(2,-10)

(a,b)=(36,2)→2a-b=2*36-2=70=0(mod5),3b-a=3*2-36=-30=0(mod5)
(x+3y+4=36)&(2x+y+3=2)→(x,y)=(-7,13)
(x+3y+4=-36)&(2x+y+3=-2)→(x,y)=(5,-15)

(a,b)=(72,1)→2a-b=2*72-1=143≠0(mod5)→(a,b)≠(72,1)
∴
(x,y)=(42,-15),(-44,13),(9,-3),(-11,1),(5,-1),(-7,-1),(2,1),(-4,-3),(-4,8),(2,-10),(-7,13),(5,-15)

2)
f(x,y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2を因数分解すると
(x+4y+1)(2x+3y-2)
である
56の約数は
{(2^j)(7^k)}_{j=0～3,k=0～1}
の6通りあるから
a=(2^j)(7^k)
b=2^(3-j)7^(1-k)
x+4y+1=a
2x+3y-2=b
とすると
5y=2a-b-4
5x=4b-3a+11
だから
2a-b=4(mod5)
4b-3a=4(mod5)
の時
f(x,y)=56を満たす自然数x,yの値は
x=(4b-3a+11)/5
y=(2a-b-4)/5

(a,b)=(1,56)→2a-b=2*1-56=-54=1≠4(mod5)→(a,b)≠(1,56)

(a,b)=(-1,-56)→2a-b=-2*1+56=54=4(mod5),4b-3a=-56*4+1*3=-221=4(mod5)
(x+4y+1=-1)&(2x+3y-2=-56)→(x,y)=(-42,10)

(a,b)=(2,28)→2a-b=2*2-28=-24=1≠4(mod5)→(a,b)≠(2,28)

(a,b)=(-2,-28)→2a-b=-2*2+28=24=4(mod5),4b-3a=-28*4+2*3=-106=4(mod5)
(x+4y+1=-2)&(2x+3y-2=-28)→(x,y)=(-19,4)

(a,b)=(4,14)→2a-b=2*4-14=-6=4(mod5),4b-3a=4*14-3*4=44=4(mod5)
(x+4y+1=4)&(2x+3y-2=14)→(x,y)=(11,-2)

(a,b)=(-4,-14)→2a-b=-2*4+14=6=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-4,-14)
(a,b)=(7,8)→2a-b=2*7-8=6=1≠4(mod5)→(a,b)≠(7,8)

(a,b)=(-7,-8)→2a-b=-2*7+8=-6=4(mod5),4b-3a=-4*8+3*7=-11=4(mod5)
(x+4y+1=-7)&(2x+3y-2=-8)→(x,y)=(0,-2)

(a,b)=(8,7)→2a-b=2*8-7=9=4(mod5),4b-3a=4*7-3*8=4(mod5)
(x+4y+1=8)&(2x+3y-2=7)→(x,y)=(3,1)

(a,b)=(-8,-7)→2a-b=-8*2+7=-9=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-8,-7)

(a,b)=(14,4)→2a-b=2*14-4=24=4(mod5),4b-3a=4*4-3*14=-26=4(mod5)
(x+4y+1=14)&(2x+3y-2=4)→(x,y)=(-3,4)

(a,b)=(-14,-4)→2a-b=-14*2+4=-24=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-14,-4)

(a,b)=(28,2)→2a-b=2*28-2=54=4(mod5),4b-3a=4*2-3*28=-76=4(mod5)
(x+4y+1=28)&(2x+3y-2=2)→(x,y)=(-13,10)

(a,b)=(-28,-2)→2a-b=-28*2+2=-54=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-28,-2)
(a,b)=(56,1)→2a-b=56*2-1=111=1≠4(mod5)→(a,b)≠(56,1)
(a,b)=(-56,-1)→2a-b=-56*2+1=-111=4(mod5),4b-3a=-4+3*56=164=4(mod5)
(x+4y+1=-56)&(2x+3y-2=-1)→(x,y)=(35,-23)
∴
(x,y)=(-42,10),(-19,4),(11,-2),(0,-2),(3,1),(-3,4),(-13,10),(35,-23)

3)
18x^3+147yx^2+39zx^2+390xy^2+273xyz-63xz^2+336y^3+444zy^2-126yz^2-54z^3-209040=0
↓両辺を3で割ると
6x^3+49yx^2+13zx^2+130xy^2+91xyz-21xz^2+112y^3+148zy^2-42yz^2-18z^3-69680=0
↓両辺に69680を加えると
6x^3+49yx^2+13zx^2+130xy^2+91xyz-21xz^2+112y^3+148zy^2-42yz^2-18z^3=69680
↓因数定理等で因数分解すると
(x+2y+3z)(2x+7y-3z)(3x+8y+2z)=69680=16*5*13*67

69680の約数は{(2^a)(5^b)(13^c)(67^d)}_{a=0～4,b=0～1,c=0～1,d=0～1}の5*2*2*2=40通りあるから

A=(2^a)(5^b)(13^c)(67^d)
B=(2^e)(5^f)(13^g)(67^h)
C=2^(4-a-e)5^(1-b-f)13^(1-c-g)67^(1-d-h)
x+2y+3z=A
2x+7y-3z=B
3x+8y+2z=C

3x=-38A-20B+27C
3y=13A+7B-9C
3z=5A+2B-3C

a=0～4,b=0～1,c=0～1,d=0～1
A=(2^a)(5^b)(13^c)(67^d)
B=(2^e)(5^f)(13^g)(67^h)
C=2^(4-a-e)5^(1-b-f)13^(1-c-g)67^(1-d-h)
A+B=0(mod3)
の時

x=(-38A-20B)/3+9C
y=(13A+7B)/3-3C
z=(5A+2B)/3-C
は整数解となる

(x,y,z)=(3,7,1)
x+2y+3z=4*5=20
2x+7y-3z=4*13=52
3x+8y+2z=67
(x,y,z)=(7,5,3)
x+2y+3z=2*13=26
2x+7y-3z=8*5=40
3x+8y+2z=67
(x,y,z)=(-2,-7,27),(-33,20,3),(42,-20,-23),(18,-20,52),(-54,11,33),(-77,33,17),(78,-37,-36),(-95,42,8)等…

回答No.2

muturajcp

1)
2x^2+7xy+3y^2+11x+13y=60
↓両辺に12を加えると
(x+3y+4)(2x+y+3)=72
x+3y+4と2x+y+3の値はそれぞれ
72の約数
{(2^j)(3^k)}_{j=0～3,k=0～2}
の12通りあるから

(x+3y+4=1)&(2x+y+3=72)→(x+3y=-3)&(2x+y=69)
→(x,y)=(42,-15)
(x+3y+4=4)&(2x+y+3=18)→(x+3y=0)&(2x+y=15)
→(x,y)=(9,-3)
(x+3y+4=6)&(2x+y+3=12)→(x+3y=2)&(2x+y=9)
→(x,y)=(5,-1)
(x+3y+4=9)&(2x+y+3=8)→(x+3y=5)&(2x+y=5)
→(x,y)=(2,1)
(x+3y+4=24)&(2x+y+3=3)→(x+3y=20)&(2x+y=0)
→(x,y)=(-4,8)
(x+3y+4=36)&(2x+y+3=2)→(x+3y=32)&(2x+y=-1)
→(x,y)=(-7,13)

(x,y)
=
(42,-15),(-42,15),(9,-3),(-9,3),
(5,-1),(-5,1),(2,1),(-2,-1),
(-4,8),(4,-8),(-7,13),(7,13)

2)
f(x,y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2を因数分解すると
(x+4y+1)(2x+3y-2)
である

f(x,y)=56を満たす自然数x,yの値は

(x+4y+1=4)&(2x+3y-2=14)→(x+4y=3)&(2x+3y=16)→(x=3-4y)&(-10=5y)
→(x,y)=(11,-2)
(x+4y+1=8)&(2x+3y-2=7)→(x+4y=7)&(2x+3y=9)→(x=7-4y)&(1=y)
→(x,y)=(3,1)
(x+4y+1=14)&(2x+3y-2=4)→(x+4y=13)&(2x+3y=6)→(x=13-4y)&(4=y)
→(x,y)=(-3,4)
(x+4y+1=28)&(2x+3y-2=2)→(x+4y=27)&(2x+3y=4)→(x=27-4y)&(10=y)
→(x,y)=(-13,10)

(x,y)=(11,-2),(-11,2),(3,1),(-3-1),(-3,4),(3,-4),(-13,10),(13,-10)

3)
18x^3+147yx^2+39zx^2+390xy^2+273xyz-63xz^2+336y^3+444zy^2-126yz^2-54z^3-209040=0
↓両辺を3で割ると
6x^3+49yx^2+13zx^2+130xy^2+91xyz-21xz^2+112y^3+148zy^2-42yz^2-18z^3-69680=0
↓両辺に69680を加えると
6x^3+49yx^2+13zx^2+130xy^2+91xyz-21xz^2+112y^3+148zy^2-42yz^2-18z^3=69680
↓因数定理等で因数分解すると
(x+2y+3z)(2x+7y-3z)(3x+8y+2z)=69680=16*5*13*67

69680の約数は{(2^a)(5^b)(13^c)(67^d)}_{a=0～4,b=0～1,c=0～1,d=0～1}の5*2*2*2=40通りあるから

A=(2^a)(5^b)(13^c)(67^d)
B=(2^e)(5^f)(13^g)(67^h)
C=2^(4-a-e)5^(1-b-f)13^(1-c-g)67^(1-d-h)
x+2y+3z=A
2x+7y-3z=B
3x+8y+2z=C

3x=-38A-20B+27C
3y=13A+7B-9C
3z=5A+2B-3C

a=0～4,b=0～1,c=0～1,d=0～1
A=(2^a)(5^b)(13^c)(67^d)
B=(2^e)(5^f)(13^g)(67^h)
C=2^(4-a-e)5^(1-b-f)13^(1-c-g)67^(1-d-h)
A+B=0(mod3)
の時

x=(-38A-20B)/3+9C
y=(13A+7B)/3-3C
z=(5A+2B)/3-C
は整数解となる

(x,y,z)=(7,5,3)
x+2y+3z=2*13=26
2x+7y-3z=8*5=40
3x+8y+2z=67

(x,y,z)=(-33,20,3)
x+2y+3z=16
2x+7y-3z=5*13=65
3x+8y+2z=67

(x,y,z)=(-77,33,17)
x+2y+3z=8*5=40
2x+7y-3z=2*13=26
3x+8y+2z=67

(x,y,z)=(-95,42,8)
x+2y+3z=13
2x+7y-3z=16*5=80
3x+8y+2z=67

等…

回答No.1

staratras

2x^2 +7xy+3y^2+11x+13y=60まず、こちらだけ解いてみます。
与えられた式から
2x^2 +(7y+11)x+3y^2 +13y-60=0 これをxについて解くと

x={-(7y+11)±√D}/4　…（１）となる。

ただしD=25y^2+50y+601、これはD={5(y+1)}^2+24^2　と変形できる。
x,yの整数解が得られるにはDが平方数とならなければならないのでこれをn^2とおくと

{5(y+1)}^2+24^2=n^2 から
n^2-{5(y+1)}^2=24^2 すなわち{n+5(y+1)}{n-5(y+1)}=24^2　…（２）が得られる。
{n+5(y+1)}-{n-5(y+1)}=10(y+1)　であるから
（２）は24の2乗が差が10の倍数である2整数の積で表されることを示している。
この2整数の積の組み合わせは24^2 =2^6・3^2　だから
（±24と±24)（±36と±16)（±96と±6）（±144と±4)の8通り(複合同順)しかない。

{n+5(y+1)}= {n-5(y+1)}=±24のとき　y=-1、(1)に代入してx=5 x=-7

{n+5(y+1)}=36、{n-5(y+1)}=16のとき　n=26、y=1、(1)に代入してx=-11 x=2
{n+5(y+1)}=-36、{n-5(y+1)}=-16のとき　n=-26、y=-3、(1)に代入してx=-4　x=-9

{n+5(y+1)}=96、{n-5(y+1)}=6のとき　n=51、y=8、(1)に代入してxが整数にならず不適
{n+5(y+1)}=-96、{n-5(y+1)}=-6　のときn=-51 y=-10 (1)に代入してx=2

{n+5(y+1)}=144、{n-5(y+1)}=4のとき　n=74 y=13、(1)に代入してxが整数にならず不適
{n+5(y+1)}=-144、{n-5(y+1)}=-4のとき　n=-74 y=-15　(1)に代入してx=5　x=42

まとめると整数解は以下の9通り
(x,y)=(-11,1),(-7,-1),(-4,-3),(2,-10),(2,1),(5,-15),(5,-1),(9,-3),(42,-15)