ビブンセキブン～いい気分

質問

z=f(y-x)+g(y-x)
からf,gを消去して偏微分方程式をつくれ。という問題で、
私の出した答えは

∂z/∂x=　-f '(y-x)-g '(y-x)
∂z/∂y=　f '(y-x)+g '(y-x)
f '(y-x)とかは（y-x）に関する導関数という意味。

だから　∂z/∂x + ∂z/∂y=0　　という答えを出したんだけど、解答を見ると

(∂^2/∂x^2)z - (∂^2/∂y^2)z =0 になっているんですよね。　

確かに2階微分でも問題を満たしているけど、なぜ１階微分の私の解答じゃないの？それだったら、　(∂^3/∂x^3)z + (∂^3/∂y^3)z =0　とか４階微分とかでも答えになるじゃん？　
　だれか教えてくんさい。

出展はサイエンス社　演習微分方程式（あの有名な黄色いシリーズ）のP4からです。

回答No.4

nuubou · ベストアンサー

ｔ，ｘ，ｙをそれぞれ実数の変数とする

「ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）をそれぞれ２階連続微分可能なｔの関数とし
ｚ＝ｆ（ｘ－ｙ）＋ｇ（ｘ＋ｙ）とすれば
（∂／∂ｘ）＾２・ｚ＝（∂／∂ｙ）＾２・ｚである」
逆に
「（∂／∂ｘ）＾２・ｚ＝（∂／∂ｙ）＾２・ｚならば
ｔの関数ｆ（ｔ），ｔの関数ｇ（ｔ）がそれぞれ存在し
ｚ＝ｆ（ｘ－ｙ）＋ｇ（ｘ＋ｙ）である」

後半がどうしてかというと
（∂／∂ｘ）＾２・ｚ＝（∂／∂ｙ）＾２・ｚであるとする
ｕ＝ｘ＋ｙ，ｖ＝ｘ－ｙとおく
するとｘ＝（ｕ＋ｖ）／２，ｙ＝（ｕ－ｖ）／２である
さらに∂ｘ／∂ｕ＝０．５，∂ｘ／∂ｖ＝０．５，
∂ｙ／∂ｕ＝０．５，∂ｙ／∂ｖ＝－０．５である
ｚをｕで微分して
∂ｚ／∂ｕ＝（∂ｚ／∂ｘ）・（∂ｘ／∂ｕ）＋（∂ｚ／∂ｙ）・（∂ｙ／∂ｕ）
＝０．５・（∂／∂ｘ＋∂／∂ｙ）・ｚ
∂ｚ／∂ｕをｖで微分して
∂∂ｚ／（∂ｖ∂ｕ）＝０．２５・（（∂／∂ｘ）＾２－（∂／∂ｙ）＾２）・ｚ
＋０．２５・（∂∂／（∂ｙ∂ｘ）－∂∂／（∂ｘ∂ｙ））・ｚ＝０
従って∂∂ｚ／（∂ｖ∂ｕ）＝０である
従ってａ（ｔ）をｔの可積分関数として
∂ｚ／∂ｕ＝ａ（ｕ）
従ってｂ（ｔ）をｔの関数として
ｚ＝∫（０～ｕ）ｄｓ・ａ（ｓ）＋ｂ（ｖ）である
改めてｆ（ｔ）≡∫（０～ｔ）ｄｓ・ａ（ｓ），ｇ（ｔ）≡ｂ（ｔ）とおき
ｚ＝ｆ（ｕ）＋ｇ（ｖ）すなわち
ｚ＝ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｇ（ｘ－ｙ）である

だから微分の階数を増やすのは必要十分性を壊すので好ましくないのです

お礼

なるほど。不用意に微分階数を増やすのは確かに好ましくありませんね。
大学入試（旧過程）問題の気分でやっていました。
あの頃は受験生を困らす為でしょうか、不用意な微分記号や積分記号が入っていた事があったんで。
さすがに大学生用の演習書で不用意な微分をしている問題は出しませんね。
解決しました。大変助かりました。ありがとうございました。
nuubouさん、siegmuntさんの双方に２０Pt付けたい位なのですが、一番乗りで回答頂けたし、面倒な数式の記述までしていただいたnuubouさんに２０Pt。

お二人ともありがとうございました。

回答No.3

siegmund

siegmund です．

> 　z=f(y-x)+g(y-x)
> という問題だったら
> 　z=ｈ(y-x)
> という式と同じだし、解答は私のになりますよね。
zuri1000 さんの言われる通りと思います．

zuri1000 さんも nuubou さんも書かれていますように，
f(y-x)+g(y-x) だったら h(y-x) と書けばいいわけですから，
問題が違っている(たぶんミスプリなのでしょう)としか思えません．
答が z=f(y-x)+g(y+x) に適合する答になっているようですから，
なおさらその感を深くしますね．

校正というのはなかなか大変です．
私も，ここの回答でときどきミスタイプしています．
特に数式のチェックは大変です．
多くの人に使われている有名な岩波の数学公式集があります．
出版以来４０年以上経っていますが，いまだにミスプリがみつかるようです．
私も数個見つけています．

お礼

なんと、数学公式集にもミスプリがあったのですか。油断できませんね。
他の微分方程式の本を見ても、z=f(y-x)+g(y+x)　の形は有名だし、物理の
方は見飽きるほど見てる関数ですものね。

z=f(y-x)+g(y+x)
の間違いということで納得することにしました。ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

私も nuubou さんと同意見です．
物理的には，１次元の波動で，
変位が x 軸の正方向への進行波と負方向への進行波の和の形に書かれているとき，
変位の満たす偏微分方程式を求める話です．

お礼

いつもご解答ありがとうございます。
もし、問題の記述が
z=f(y-x)+g(y+x)
であれば確かに波動方程式ですね。
でも、物理の問題ではなく、純粋に
　z=f(y-x)+g(y-x)
という問題だったら
　z=ｈ(y-x)
という式と同じだし、解答は私のになりますよね。要は私の解答でいいのか、もしくはサイエンス社の同書が間違っているのかの確信を持ちたいです。

回答No.1

nuubou

z=f(y-x)+g(y-x)
は
z=f(y-x)+g(y+x)
の間違いでは？
そうでないと
z=h(y-x)
と同じになっちゃうのでは

お礼

＞　z=h(y-x)
＞と同じになっちゃうのでは

私もそう思いました。今、手元の同書を見ながら確認してますが、解答も問題も
z=f(y-x)+g(y-x)
の記述になっているんですよね。1977年から現在まで改訂が一度もされてないから
　z=f(y-x)+g(y+x)
の間違いかもしれませんね。ありがとうございます。