nが整数のとき、n^2が素数aの倍数ならばnはaの倍数である、は真ですか？

質問

数学の問題を解いていると、nが整数のとき、
n^2が3の倍数⇔nは3の倍数　を証明せよ
n^2が5の倍数⇔nは5の倍数　を証明せよ
という問題がありました。
そこで、質問タイトルにあるように、
「n^2が素数aの倍数⇔nはaの倍数」
は成り立つかな？と思って証明しようと思い、
必要は明らかなので十分について
対偶を取って数学的帰納法で証明しようとしたのですが、うまくいきませんでした。

そもそもこの命題は真なのでしょうか。真なのでしたら、
出来るならば高校数学の範囲で証明を示してもらえないでしょうか。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「n^2 が素数 p の倍数」なら「n が p の倍数」は真です. 証明は... 「高校数学」ってどこまで使っていいんでしたっけ?
・「ab が素数 p の倍数なら a か b が p の倍数」を使っていい → n^2 = n・n より自明.
・「素因数分解が一意である」ことを使っていい → ほぼ自明. n = p1 p2 ... と素因数分解すると n^2 = p1^2 p2^2 ... となって, 後者のどこかに p があるならそもそも前者のどこかに p がある.
・合同式と二項定理を使っていい → n^p ≡ n (mod p) を二項定理+帰納法で証明. あとは (p ≧ 3 を仮定していいので) n^p ≡ n^2 ・ n^(p-2) ≡ n となるので n^2 が p で割切れるなら n も p で割切れる.

お礼

おお・・・こんなに単純に出来るとは。
ちまちまとやっていた自分が馬鹿みたいです。
解答ありがとうございました。