半径の問題

質問

円C1、C2、C3の半径をそれぞれ
r1、r2、r3とするとき、
r1、r2、r3の関係式を求めなさい。

回答No.3

staratras

下の図のように。円C1,C2,C3の中心をそれぞれA,B,Cとし、直角三角形の斜辺との接点をそれぞれP,Q,Rとする。この斜辺は3円の共通接線である。

BからAPへ垂線BHを下すと、三角形BHAは直角三角形であるから三平方の定理よりBH^2=AB^2-AH^2=(r1+r2)^2-(r1-r2)^2=4r1r2
したがってBH=2√(r1r2)=PQ

同様にPR=2√(r1r3)、RQ=2√(r2r3)
PQ=PR+RQに代入すれば
2√(r1r2)=2√(r1r3)+2√(r2r3)
√(r1r2)=√(r1r3)+√(r2r3)) 両辺を平方して整理すると
r1r2=r3(r1+r2+2√(r1r2) となるから
r3=(r1r2)/(r1+r2+2√(r1r2))

答えr3=(r1r2)/(r1+r2+2√(r1r2))

なおこの問題は、「デカルトの円定理」の特別な場合(一つの円が直線(半径無限大の円）の場合）で、江戸時代の和算に登場しそうな問題です。

回答No.2

nagata2017

r1>r2>r3

回答No.1

asuncion

画像がピンボケで、何がどの円を
指しているかが全くわかりません。