半径の問題

質問

円の中に直線を引きその長さが４８cm。その中点から円まで垂直に引いた線の長さが１２cm。その円の半径を求める問題なんですが、方程式や定理があるのでしょうか？教えて下さい。

回答No.7

noname#82102

こんな解き方もあります。
図が無いので解りにくいですが、円の中心をO、直線の中点をM、直線と円周との交点をA、OMの延長と円周との交点をPとします。
Mは直線の中点ですから、AM＝24cmになります。
OPは円の半径で、MP＝12cmなので、
OM＝(半径)-12cmになります。
OAも円の半径です。
ここで、ΔAMOは∠AMO＝90°の直角三角形なので、半径をxcmとして三平方の定理を使うと、
OA^2=AM^2+OM^2
x^2=24^2+(x-12)^2
という等式が成り立ちます。
これを解くと、
x=30なので、
この円の半径は30cmです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.6

pascal3141

法則としては、「方べきの定理」を使うことができます。この定理は色々なバージョンがありますが、「円の内部の任意の点Ｐから２本の直線を引き１本の直線の円との交点Ａ，Ｂ、もう１本はＣ，Ｄとすると、ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤが成り立つ」というものです。今の問題はこの公式を使います。中点がＰとするとＰＡ＝２４、ＰＢ＝２４、ＰＣ＝１２、となるので、２４×２４＝１２×ＰＤ（ＤはＰＣの反対側にのばした直線の円との交点。もちろんＰＤは円の中心を通ります。）よって、ＰＤ＝４８。ＣＤ＝ＰＣ＋ＰＤ＝１２＋４８＝６０。ＣＤは直径なので、半径は３０ｃｍ。

お礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.5

oosawa_i

No.3を書いたものです。
間違えました。３０ｃｍですね。

No.２やNo.４の人の答をなぞるのではなく、自分で図を書いて考えた方が楽しいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

ISSAC-K

これは相似形の問題ですね。
順番に絵を描いて考えましょう。
円を書いて、どこでもいいので適当に線を引く。
その線の中点を通る垂線を円の端から端まで引いてください。
（垂線は円の中心を通り、その長さはその円の直径ですね。）
円の中に直線が二本、直角に交わってますか？
円と直線の４つ交点をせんで結んでください。
円の中に４つの直角三角形が出来ましたか？
向かい合う２つはそれぞれ相似形であることがわかりますか？
一つは１２ｃｍの辺と２４ｃｍ（４８ｃｍの半分）の辺とが直角に交わった直角三角形、その向かい側は２４ｃｍ（４８ｃｍの半分）の辺と長さがＸｃｍの辺とが直角に交わった直角三角形です。
この二つは相似ですから、１２：２４＝２４：Ｘ　
よってＸ＝４８ｃｍ　
最初に引いた直線の垂線の長さは、１２＋４８＝６０ｃｍ（直径）
ですから、この円の半径は３０ｃｍ　
いかがでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.3

oosawa_i

こんばんは。
答は１８cmだと思います。
図を書いて補助線をいろいろ引いてみましたか。
何度も何度も図を書いてみて、補助線を引いて、未知数をｘとおいて、いろいろ考えてみてください。
ヒントをいえば、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って解きます。
頑張ってください。

回答No.2

jojo0707

特別な定理といったものはありません。
直角三角形の性質と円の性質を考えると求めることができます。
図を描けば分かると思います。
文章で説明するとちょっと分かりづらいと思いますが、
円の中に引いた直線と円との接点をA、Bとし、その中点をM、
中点から円まで下ろした垂線と円との接点をC、
また、円の中心を（オー）とします。
すると、MはABの中点なので、AM=24。
問題文より、MC=12。
ここで、OM=xとおくと、
△OMAは直角三角形なので、
AO^2（２乗のこと）=AM^2 + OM^2 = 24×24 + x^2
また、円の半径に当たるので、OA=OC=OM+MC=x+12
したがって、√(24×24 + x^2) = x+12
あとはこの２次方程式を解くと、x=18
なので、半径OC=18+12=30となります。

お礼

回答ありがとう御座います。
三角形の定理以外で解く方法はないでしょうか？
できれば√を使わずに解く方法など。

回答No.1

shintaro-2

作図をしてみてください。

12cmの直線を48cmの直線から反対側の円周に伸ばすと、相似な三角形をどこかに見つけることができると思います。