陰関数の導関数を求める問題を教えて下さい

質問

以下の式f=0に対して、陰関数y=y(x)の導関数を求めよという問題です。
(1)f=x+y-e^(x*y)
(2)log(x^2+y^2)-2*Arctan(y/x)
お願いいたします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

(1)(2)とも、与えられた陰関数を「=0」としてxについて微分せよということでしょうか？
その解釈のもとで。

(1)
x+y-e^(xy)=0 をxで微分
1+y’-e^(xy)*(y+xy’)=0
1-e^(xy)*y+y’*(1-e^(xy)*x)=0
y’=(1-e^(xy)*x) / (e^(xy)*y-1) …答

(2)
ln(x^2+y^2)-2Arctan(y/x)=0 をxで微分
(2x+2y*y’)/(x^2+y^2)-2/( 1+ (y/x)^2 ) * (xy’-y) / x^2=0
(x+y*y’)/(x^2+y^2)-(xy’-y)/(x^2+y^2)=0
(x+y*y’)-(xy’-y)=0
(y-x)y’+(x+y)=0
y’=(x+y)/(x-y) …答