陰関数の問題について質問です

質問

大学の授業で以下のような問題を出されたのですが、
授業内容よりやや飛躍した内容なので、考えてみましたがわかりませんでした。
どなたかご解答おねがいします。。。

f(x,y)= xe^xy+4ey^2-5e　とする。
f(1,1)=0　であることに注意し、f(x,y)=0 が (1,1)の付近で陰に定める関数をΦ(x)とする。
Φ(x)のx=1での微分係数を求めなさい。

回答No.2

alice_44

No.1 の続き：

y を φ(x) の略記とみなせば、0 = f(x,y) は x についての項等式だから、
両辺を x で微分して、
0 = (d/dx)f(x,y) = (∂/∂x)f(x,y) + (∂/∂y)f(x,y)・dy/dx.

f(x,y) = x e^(xy) + 4e y^2 - 5e に対して
x = y = 1 のとき、
(∂/∂x)f(x,y) = e^(xy) + xy e^(xy) = 2e,
(∂/∂y)f(x,y) = x^2 e^(xy) + 8e y = 9e
だから、0 = 2e + 9e dy/dx.

すなわち、(d/dx)φ(1) = dy/dx = -2/9.

回答No.1

alice_44

f( x, y ) = 0 が x に関して恒等式であることから、(d/dx) f( x, y ) = 0 が成り立つ。
(∂/∂x) f( x, y ) = 0 ではなく、(d/dx) f( x, y ) = 0 であることに注意。
この式に x = 1 を代入すると、左辺に含まれる x, y が x = y = 1 で消えて、
dy/dx に関する方程式が残る。それを解けば、x = 1 における dy/dx の値が解る。