陰関数の極値

質問

連続投稿申し訳ないです。

陰関数の極値を求める問題をやっていました。f'(x)=-F_x/F_yで導関数を求めたまではよかったのですが、そこからどうすればよいか分からず、かなり悩んでいます。f'(x)=0とおいてみたのですがよく分かりませんでした。調べてもなかなか無いので質問させていただきました。分かる方回答お願いします。

回答No.1

lick6 · ベストアンサー

ちょっと陰関数というのをよく覚えていないのですが、問題はf(x,y) = x^2 + 3y^2 - 6xy + 4x + 5y -2 の最大最小を求めろというような問題ですか？

お礼

回答ありがとうございます。

にていますが、少し違いますね。問題を書いてしまうと、x^3-3axy+y^3=0 で与えられる陰関数yの極値です。

回答No.2

Mr_Holland

次のように解いてはいかがですか。
　　f(x)＝x^3-3axy+y^3=0
　　fx＝3x^2-3ay, fxx＝6x, fy＝-3ax+3y^2
　　d^2 y/(dx)^2＝-fxx/fy＝2a/(a^2-x0)
　陰関数y=g(x)はfy≠0、即ちy^2≠axとなる点で存在する。
　極値の候補はfx＝0かつf＝0となる点であるから、
　　3x^2-3ay＝0、x^3-3axy+y^3=0
　これを連立して解くと、
　　(x,y)＝(0,0), (2^(1/3)a,2^(2/3)a)
　次に極値の極大・極小を調べる。
　(x,y)＝(0,0)のとき、d^2 y/(dx)^2＝2/a＞0　で極小値。
　(x,y)＝(2^(1/3)a,2^(2/3)a)のとき、d^2 y/(dx)^2＝(1/a)・2/(1-2^(1/3))＜0　で極大値。

　ちなみに、f(x)=0のグラフはデカルトの正葉線と呼ばれ、下記URLに示されるような曲線をしています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AD%A3%E8%91%89%E7%B7%9A

　いかがでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました。

f=0を使わなかったため間違っていたようです。