陰関数定理

質問

x,yに関する連続な関数
z=f(x,y)
がz0=f(x0,y0)となる点(x0,y0,z0)付近でx,yについて陰関数定理を満たしているとする，即ちこの点周辺で∂f/∂x・∂f/∂y≠0で∂f/∂x，∂f/∂yは共に連続とした場合，∂y/∂x，∂x/∂yの値はどうなるのか教えて下さい。

考えてみたのですが
F(x,y,z):=f(x,y)-z=0
と置き，条件より陰関数定理が成り立つので
y=φ(x,z)
x=ψ(y,z)
と書け
F(x,z,φ(x,z))≡0
F(y,z,ψ(x,z))≡0
より
∂y/∂x=∂φ/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)
∂x/∂y=∂ψ/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂x)=-(∂f/∂y)/(∂f/∂x)
として良いのでしょうか。
一見，与関数に於いてx,yは独立変数に見えるので
∂y/∂x=∂x/∂y=0
となる様にも思うのですが…。
どちらが正解なのか教えて下さい

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

∂y/∂x, ∂x/∂y という書き方が、定義不明瞭でいけません。
この二つが、それぞれ ∂φ/∂x, ∂ψ/∂y のことを指しているなら、
ここでの ∂/∂ は「z を固定して」という意味ですから、
f(x,y) において x, y が独立変数であることと
∂y/∂x, ∂x/∂y の間には何の関係もありません。
むしろ、z を固定すれば、z = f(x,y) という関係により、
x, y は相互に独立ではなくなります。

そもそも、偏微分にせよ、全微分にせよ、微分は関数を微分するもので、
変数を微分するものではありません。どの関数を微分したのか、自覚して
計算を行うことが大切です。

お礼

> f(x,y) において x, y が独立変数であることと∂y/∂x, ∂x/∂y の間には何の関係もありません。

像の値と関数をごちゃ混ぜにしていたので，理解があやふやになっていました。
質問させて頂いた当初はこの違いをすんなりと理解出来ませんでしたが，様々な本を読み進める内に漸く理解出来る様になりました。

> ∂y/∂x, ∂x/∂y という書き方が、定義不明瞭でいけません。
（中略）
> 微分は関数を微分するもので、変数を微分するものではありません。どの関数を微分したのか、自覚し
> て計算を行うことが大切です。

今では，このコメントには目から鱗です。偏微分においては，従属変数がどの独立変数の関数として表されているかが先ず第一に調べる事であり，特に引数を明記せず形式的に∂y/∂xの様に書かれている場合は，どの独立変数で微分するのかは記号より明らか（∂y/∂xではxで微分）なので，それよりもどの独立変数を固定して微分するのかの方がより重要である事に気が付きました。

お礼が大変遅くなりましたが，有難うございます

回答No.2

jaspachate

G(x,y)=0 を考え、x,yそれぞれが陰関数定理を満たすのなら、
dy/dx = -Gx/Gy
dx/dy = -Gy/Gx
が成り立ちます。これの意味はy(x)とみなすか、x(y)とみなすかだけの違いで、曲線の傾きをどちら側からみるかということになります。

同様に、z=z0 に固定して考えると　F(x,y,z0)=0 はx,y面内での曲線を表し、その曲線上で ∂y/∂x = -Fx/Fy、∂x/∂y = -Fy/Fx が成り立ちます。y=φ(x,z0)、x=ψ(y,z0) と表せば、φ^(-1) = ψ、φ = ψ^(-1) であってそれぞれのパラメータ表示間の関係になります。

以上のようにイメージすればわかりやすいのではないでしょうか。

お礼

僕がこの質問を通して一番知りたかったのは，∂y/∂xと形式的に書かれた場合，yが何の関数で表されているか不明なのに，どうやって正しい微分値を導き出すのか，という事でした。
ですので，arrysthmiaさんの御回答が僕の知りたい事に合致しておりましたので，ベストアンサーに選びました。
唯，jaspachateさんの御回答により，偏微分への理解が，形式的な記号論に留まらず，グラフを通じてより深まったように感じています。

お礼が大変遅くなりましたが，有難うございます