参考書のとおりに逆行列が計算できません。

質問

画像の通り、X'X行列の逆行列(X'X)^-1のB22成分のように導出できません。

重回帰分析の偏回帰係数の推定量の計算で、逆行列を計算するのですが、
自分で試行錯誤しても参考書の形に持っていくことができず、困っております。
逆行列の定義など見直したのですが、解決できません…

どうすれば、B22の形に持っていくことができるのでしょうか。

ご回答いただけますと幸いです。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

XtX
=
[Xt1X1,Xt1X2]
[Xt2X1,Xt2X2]

XtX^(-1)
=
[B11,B12]
[B21,B22]
とすると

XtX^(-1)
=
[Xt2X2/(Xt1X1Xt2X2-Xt2X1Xt1X2),-Xt1X2/(Xt1X1Xt2X2-Xt2X1Xt1X2)]
[-Xt2X1/(Xt1X1Xt2X2-Xt2X1Xt1X2),Xt1X1/(Xt1X1Xt2X2-Xt2X1Xt1X2)]
だから
B22=Xt1X1/(Xt1X1Xt2X2-Xt2X1Xt1X2)
B22=1/(Xt2X2-Xt2X1Xt1X2/Xt1X1)
B22=1/{Xt2X2-Xt2X1(1/Xt1X1)Xt1X2}
∴
B22={Xt2X2-Xt2X1{(Xt1X1)^(-1)}Xt1X2}^(-1)

お礼

ありがとうございます！
今朝も起きて数式と格闘していたのですが…このように展開しているのですね。本当に助かりました！

回答No.1

178-tall

添付図の三式だけでは意味不明。

参考 URL / 「ブロック行列関連の役に立ちそうな線形代数いろいろ (for Gaussian Process) 」
… の「ブロック LU 分解」の一部分みたいでもあります。

参考URL：

http://www.singularpoint.org/blog/math/block-matrix-linear-algebr/