逆行列の微分

質問

Ａが正則な行列のとき、

dA^{-1}/dt=-A^{-1}・(dA/dt)・A^{-1}

A^{-1}はAの逆行列
であると聞きましたが、この式がどうしても導出できません。

まわりの人たちに聞いたら、
「A^{-1}を微分したらマイナスAのマイナス２乗になるでしょ？」
と言われましたが、A^{-1}の-1は指数ではなくインバースの記号なので、
その返答がうさんくさいように思えてなりません。
逆行列の成分ごとに計算しようとしましたが、
余因子展開やら何やら行なっても式が複雑になるだけで、解決しませんでした。
夕方からつっかかって、気になって仕方がありません。助けてください。

回答No.1

redbean · ベストアンサー

以下は dA/dt を A' と表現します。

２つの行列の積の微分が以下のようになるのはいいですよね。

(A・B)' = A'・B + A・B'

A^{-1}が微分可能であることは成分を考えれば明らか
です。ここで、以下の両辺を微分します。

A・A^{-1} = E

結果は

A'・A^{-1} + A・A^{-1}' = O

これに左から A^{-1} を掛ければ出来あがりです。

お礼

なんと明快な！ありがとうございます！
まさかAA^{-1}=Eの微分から出てくるなんて、
思いもよらず、ゆうべは一晩中のたうちまわっていました。
おかげですっきりしました。