画像の問題について

質問

画像の問題について質問です。
なぜ、2x-1を積分しないで、(y+1/2)・dx/dyを積分しているのでしょうか？
(y+1/2)・dx/dyの積分なんて面倒臭いことをしないで、
2x-1を積分すればいいのでは？と思います。。。
なぜこのような解き方をしているのでしょうか？

回答No.5

jcpmutura

fx(y+1/2)dx/dyを積分する理由は
積分の範囲が定義域全体だから積分値が1になってしまうからです

積分の上限を不定にして
2xを積分する事によって
分布関数を求めてから微分によって
fy(y)
を求める事もできます

分布関数を求めてから
fy(y)
を求める
別解です
確率変数Xの分布関数P(X<x)は
x<0の時P(X<x)=∫_{0～x}0dx=0
0≦x≦1の時
P(X<x)
=∫_{0～x}fx(x)dx
=∫_{0～x}(2x)dx
=[x^2]_{0～x}
=x^2
1<xの時P(X<x)=∫_{0～1}(2x)dx=1

x<0の時 P(X<x)=0
0≦x≦1の時 P(X<x)=x^2
1<xの時 P(X<x)=1

y=2x-1
y+1=2x
x=(y+1)/2
X=(Y+1)/2
だから

y<-1の時 P(Y<y)=0
-1≦y≦1の時P(Y<y)={(y+1)}^2/4
1<yの時 P(Y<y)=1
だから
確率変数Yの分布関数をF(y)とすると
F(y)=P(Y<y)=∫{-1～y}fy(y)dy
だから
y<-1の時 F(y)=∫{-1～y}fy(y)dy=0
-1≦y≦1の時F(y)=∫{-1～y}fy(y)dy={(y+1)^2}/4
1<yの時 F(y)=∫{-1～y}fy(y)dy=1
↓各辺をyで微分すると

-1≦y≦1の時 F'(y)=fy(y)=(y+1)/2
y<-1.又は.1<yの時F'(y)=fy(y)=0
∴
-1≦y≦1の時 fy(y)=(y+1)/2
y<-1.又は.1<yの時fy(y)=0

回答No.4

jcpmutura

求めるのは積分の値ではありません
積分の値は1になることは分かっているのです
求めるのは確率密度関数
fy(y)
なのです
∫_{-1～1}fy(y)dy
は
確率密度関数fy(y)を-1～1まで
定義域全体で積分すれば1にならなければ
確率とはいえなくなってしまうので
定義域全体で積分すれば
必ず
1
になるのです

∫_{0～1}fx(x)dx
も
確率密度関数fx(x)を0～1まで
定義域全体で積分すれば1にならなければ
確率とはいえなくなってしまうので
定義域全体で積分すれば
必ず
1
になるのです

fx(x)=2x,(0≦x≦1)
である事が分かっていて
∫_{0～1}(2x)dx=1
2xを0～1まで積分すると
1
になります

2xを積分すれば1になるだけで

fy(y)も-1～1まで積分すれば1にならなければいけない事
はすでに分かっている事で
すでに分かっている事が確認されるだけで
fy(y)はどんな関数かが何もわかりません

fx(x)=2x,(0≦x≦1)
から
fy(y)
を
求めるために
y=2x-1
だから
y+1=2x
x=(y+1)/2
だから

fx(x)
の括弧の中のxを(y+1)/2に置き換えて
dxを(dx/dy)dyに置き換えて
x=0～1をy=-1～1
に置き換えて

fy(y)
を
求めるのです

2xを積分すれば
1
になる事を再確認するだけで
fy(y)
が何かが分かりません

回答No.3

jcpmutura

(y+1/2)・dx/dyを積分しているのではありません
fx(y+1/2)・dx/dyを積分しているのです

fy(y)は2x-1ではありません
fx(x)も2x-1ではありません

そこに書いてあるように
0≦x≦1の時fx(x)=2x
(x<0,1<x)の時fx(x)=0
なので
∫_{0～1}fx(x)dx
=∫_{0～1}(2x)dx
=[x^2]_{0～1}
=1
だから

∫_{0～1}fx(x)dx=∫_{0～1}(2x-1)dxでない理由は
fx(x)=2x-1ではなく
fx(x)=2xだから
∫_{0～1}fx(x)dx=∫_{0～1}(2x)dxとしない理由は
問題でfy(y)を求めよといってるのに
∫_{0～1}fx(x)dx=∫_{0～1}(2x)dx=1としても
fy(y)を求める事ができないから

補足

ありがとうございます！fx(y+1/2)・dx/dyを積分する理由はなんでしょうか？なぜ2xを積分すればいいのに、fx(y+1/2)・dx/dyを積分するのか、と言うことですが。

回答No.2

f272

2x-1を積分して何がわかると思っているんだ？そういいうことを説明もしないで，わかりませんと言っているだけでは，有用なアドバイスは得られません。

回答No.1

f272

∫(何か)dyの形にしたいのに，それ以外の形に持ち込んでも後が続きません。
それから2x-1を(xで)積分しても何も有用なことはわかりません。

ついでに言っておくと，Xとxは同じものではありません。同じものではないから違う文字であらわしているのです。
Xは確率変数で，-∞から∞までの値をとることができます。0から1まで以外のところでは0と定義されていますから，実質的には0から1までですが。
xはXの実現値を一般的に表現する変数です。

補足

ありがとうございます。
「∫(何か)dyの形にしたいのに，それ以外の形に持ち込んでも後が続きません。
それから2x-1を(xで)積分しても何も有用なことはわかりません。」
と書かれた理由がわかりません。。。教えてください、よろしくお願いします！！