数II 剰余の定理と因数定理

質問

この問題の解き方がよくわかりませんでした。どなたか分かりやすく説明してください。お願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

P(x)=(x-1)(x^4n-1)=(x-1)(x^n-1)(x^2n+1)(x^n+1)
Q(x)=(x^4-1)(x^n-1)=(x-1)(x^n-1)(x^2+1)(x+1) と因数分解できるから
P(x)がQ(x)で割り切れるかどうかは、両者に共通の(x-1)と(x^n-1)を除いた
P'(x)=(x^2n+1)(x^n+1) とQ'(x)=(x^2+1)(x+1)=(x+i)(x-i)(x+1) で考えるとよい。

Q'(x)=0 となるのはx=-1 とx=±i なので、因数定理によりこのxの3つの値すべてについて、P'(x)=0 であれば、P'(x)はQ'(x)で割り切れる。

１）nが正の奇数のとき、(-1)^n=-1 だからP'(-1)=0
また(±i)^2n=(i^2)^n=(-1)^n=-1 だからP'(±i)=0
よってP'(x)はQ'(x)で割り切れ、P(x)はQ(x)で割り切れる。

２）nが正の偶数のとき、(-1)^n=(-1)^2n=1 だからP'(-1)≠0
よってP'(x)はQ'(x)で割り切れず、P(x)はQ(x)で割り切れない。

回答No.2

f272

P(x)がQ(x)で割り切れる
⇔適当な多項式D(x)を使ってP(x)=Q(x)*D(x)
⇔Q(x)=0の解はすべてP(x)=0の解になる。ただしQ(x)=0に重解であるときはP(x)=0の重解になって，P(x)=0での重複度はQ(x)=0での重複度以上になっている。
ここまではいいですか？

次にP(x)=0とQ(x)=0の解を検討してみます。
P(x)=0の解はx=1とx=e^(2πi*j/(4n))です。ただしj=0から4n-1までの整数
Q(x)=0の解はx=e^(2πi*k/4)とx=e^(2πi*l/n)です。ただしkは0,1,2,3でl=0からn-1までの整数
これでは比較がしづらいのでeの指数部分の分母を2nに統一します。
P(x)=0の解はx=e^(πi*0/(2n))とx=e^(πi*j/(2n))です。ただしj=0から4n-1までの整数
Q(x)=0の解はx=e^(πi*kn/(2n))とx=e^(πi*4l/(2n))です。ただしkは0,1,2,3でl=0からn-1までの整数
つまりeの指数部分のπi/(2n)を除いた部分は
P(x)=0のの方は0と0,1,2,...,4n-1
Q(x)=0のの方は0,n,2n,3nと0,4,8,...,4n-4
ですね。
もしnが奇数であれば，0,n,2n,3nと0,4,8,...,4n-4で重複しているのは0だけです。それ以外はどれも4n-1よりも小さくてかつ重複しません。つまり0と0,1,2,...,4n-1に含まれるということです。
もしnが偶数であれば，0,n,2n,3nと0,4,8,...,4n-4は少なくとも0と2nが重複します。しかし0と0,1,2,...,4n-1では0しか重複することはありません。つまり「0,n,2n,3nと0,4,8,...,4n-4」は「0と0,1,2,...,4n-1」に含まれません。

これで最初に言ったことを考え合わせると，題意が示されたことになります。

回答No.1

info33

(1)
n=2m-1
P(x)=(x-1)(x^(4(2m-1)) -1)=(x-1)(x^(2m-1)-1)(x^(2m-1)+1)(x^(2(2m-1))+1)
=A(x)B(x)
ここで, A(x)=(x-1)(x^(2m-1)-1), B(x)=(x^(2m-1)+1)(x^(2(2m-1))+1),.

Q(x)=(x^4-1)(x^(2m-1) -1)=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)(x^(2m-1) -1)
=A(x)(x+1)(x-i)(x+i)
B(x)が (x+1)(x-i)(x+i) で割り切れることを示せばよい。

B(-1)=((-1)^(2m-1)+1)((-1)^(2(2m-1))+1)=(-1+1)(1+1)=0,
B(i)=(i^(2m-1)+1)(i^(2(2m-1))+1)=(-i(-1)^m+1)(-1^m+1)=(-i(-1)^m+1)(-1+1)=0,
B(-i)=((-i)^(2m-1)+1)((-i)^(2(2m-1))+1)=(i(-1)^m+1)(-1^m+1)=(i(-1)^m+1)(-1+1)=0.
よって因数定理より, B(x) は (x+1)(x-i)(x+i)=(x+1(x^2+1) で割り切れる。
即ち, P(x) は Q(x) で割り切れる。

(2) は後ほど....。