絶対収束の問題を教えて下さい。

質問

項an(a0,a1,a2,・・・)があって、
(1)|an|^(1/n)≦m＜1
(2)|an|^(1/n)<m＜1
が絶対収束することを示せ、という問題です。
お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

|a(n)|^(1/n)なのでn≠0なのでa(0)は定義できません

項a(n)(a(1),a(2),…)があって
(1)
|a(n)|^(1/n)≦r=m<1
の時
|a(n)|^(1/n)≦r
両辺をn乗すると
|a(n)|≦r^n
n=1～Lまで各項を加えると
Σ_{n=1～L}|a(n)|≦Σ_{n=1～L}r^n
右辺は初項r公比r,(0≦r<1)の等比級数だからr/(1-r)に収束する
Σ_{n=1～L}|a(n)|≦Σ_{n=1～∞}r^n=r/(1-r)
Σ_{n=1～L}|a(n)|は単調増加で上に有界
だから
Σ_{n=1～∞}|a(n)|が収束するから
Σ_{n=1～∞}a(n)は絶対収束する

(1)
|a(n)|^(1/n)<r=m<1
の時
|a(n)|^(1/n)<r
両辺をn乗すると
|a(n)|<r^n
n=1～Lまで各項を加えると
Σ_{n=1～L}|a(n)|<Σ_{n=1～L}r^n
右辺は初項r公比r,(0≦r<1)の等比級数だからr/(1-r)に収束する
Σ_{n=1～L}|a(n)|<Σ_{n=1～∞}r^n=r/(1-r)
Σ_{n=1～L}|a(n)|は単調増加で上に有界
だから
Σ_{n=1～∞}|a(n)|が収束するから
Σ_{n=1～∞}a(n)は絶対収束する

お礼

助かりました！