収束半径の求め方

質問

Σ[0,∞]nz^(n^2)
の収束半径を求める問題なのですが，いまいちよく分かりません。

コーシーの収束判定法で求めるため，
まず一般項anを出そうと思い
どのように変形したら
Σ[0,∞]an*z^n
の形になるかを考えているのですが
一向に思い浮かびません（汗）

どなたかご教授してして下さるかた、お願いいたします。。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

n^(1/(2n)) は n→∞ で 1 に収束します. だから上極限と下極限も一致してその値は 1.
というか, 「収束半径を求める」ことが問題であるならどんな方法を取ってもいいわけで, あえてコーシーにこだわる必要もないのではないかと.
#1 でも書いたけど, |z| > 1 で発散することは見た目で明らかです. だから |z| < 1 のときにどうなるかを考えればいいんだけど,
Σ[0,∞] |nz^(n^2)| = Σ[0,∞] |n|×|z^(n^2)| ≦ Σ[0,∞] |√n|×|z^n|
が明らかで, 後者の級数は収束半径が 1 です (ダランベールの収束判定でもやってください). 従って元の級数も |z| < 1 で絶対収束します.

お礼

＞n^(1/(2n)) は n→∞ で 1 に収束します. だから上極限と下極限も一致
この方法もありましたね…，拘りすぎてました;;;
ニ度もアドバイスありがとうございました！

回答No.2

OurSQL

>コーシーの収束判定法で求めるため，
>まず一般項anを出そうと思い
コーシーの収束判定法を使うことにこだわるのであれば、m が 0 および平方数のとき

a_m = √m

とおき、それ以外のとき

a_m = 0

とおけば、

Σ[0, ∞] n * z^(n^2) = Σ[0, ∞] (a_m) * z^m

と変形できるので、あとは簡単な計算で答えが求まります。

お礼

アドバイスありがとうございます。
limsup[n→∞]{n^(1/2n)}
になりますね。
（ここからの計算も詰まっていますが…；）

回答No.1

Tacosan

|z| > 1 なら発散, |z| < 1 なら収束するので収束半径は 1.

お礼

アドバイスありがとうございます。

確かにそうですよね。。