座標変換

質問

直角座標系でx,y,z方向の単位ベクトルをi,j,kとするとき、この単位ベクトルiおよびjを円筒座標系(r,θ,z)の単位ベクトルe_r,e_θを用いて表すにはどのように計算したらよいのでしょうか？

ベクトル解析の問題を解くために、座標変換してやるほうが考えやすいと思ったので、試みようと思ったのですが、やり方が分かりません。
ご指南お願い致します。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

e_r,e_θをx,y,z成分であらわすと
e_r=(cosθ,sinθ,0),e_θ=(-sinθ,cosθ,0)
となります。
この線形結合でi=(1,0,0)をあらわす。

(0,1,0)=a(cosθ,sinθ,0)+b(-sinθ,cosθ,0)
1=acosθ-bsinθ (1)
0=asinθ+bcosθ (2)

(2)より
b=-atanθ
(2)に代入して
1=acosθ+a(sinθ)^2/cosθ=a/cosθ
a=cosθ
b=-sinθ
となります。
同様にjも求めることが出来ます。1
ただ、定ベクトルであるjを変化するベクトルであるe_r,e_θであらわすのはあまりお勧めしません。

(別解)
jについてはi,kがわかっているのなら
j=k×i
として計算するほうが早いかも。