制御工学における周波数伝達関数

質問

みなさんよろしくお願いいたします。
制御工学の周波数応答において取り扱われている周波数伝達関数G(jω)があります。
正弦波入力u(t)＝Asin(ωt)に対する定常応答は
y(t)＝A{G(jω)e^(jωt)/2j－G(-jω)e^(-jωt)/2j}となります。
ここで小職の手持ちの教科書ではG(jω)とG(－jω)は共役複素数であると書いてあります。
なぜ共役複素数と言えるのか証明方法をご存知の方がいらっしゃったらご教示をお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat

一般にG(s)が有理関数のとき、G(jw)とG(-jw)は複素共役になりますね。証明は、'で複素共役を表すことにすれば
(A+B)' = A' + B'
(A*B)' = A' * B'
あたりを考えれば。

回答No.1

edge_wind

周波数伝達関数G(jω)の元の形は、時間関数をラプラス変換して求められる伝達関数G(s)です。
この伝達関数の変数sをjωとおいたものが周波数伝達関数です。

例えば、伝達関数G(s)が
G(s) = 1/(A・s+B)
のように表現された場合、周波数伝達関数は
G(jω) = 1/(A・jw+B) = (B-jAω)/((Aω)^2+B^2)
と表すことができ、また、
G(-jω) = 1/(A・(-jω)+B) = (B+jAω)/((Aω)^2+B^2)
となり、共役複素数の関係になります。

より複雑な伝達関数でもこの関係は成り立ちますので、G(jω)とG(-jω)は共役複素数といえると思います。
一般化して証明するのは面倒かもしれませんが。

確か、こんな感じだったと思います。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
回答者さんが書いていただいたとおり1次要素系の場合、ご回答頂いたとおり共役複素数の関係が成立つことは、実は分かっておりました。
質問が雑で申し訳有りません。
おさっしのように一般化した場合の証明が複素関数論の視点から証明できないかを模索しております。
何度も申し訳有りませんが一般化した場合成立つことの証明方法をご存知でしたら、ご教示をお願いいたします。