数学のベクトルの外積（ベクトル積）についての質問です。

質問

数学のベクトルの外積（ベクトル積）についての質問です。
ベクトルの外積はa×b＝|a||b|sinθであらわされ、平行であることを示せるのはわかるのですが、直交は調べられないのでしょうか？
外積をつかって直交ベクトルを求めよと言う問題が出てしまって、いくら教科書を読んでも解き方がわかりません。
例）
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交する単位ベクトルを外積を利用して求めよ。

回答No.1

proto · ベストアンサー

外積の定義の認識に誤りがあります。
a,bの外積a×bはベクトルです。
一方、
　　|a||b|sinθ
はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」が
　　|a×b| = |a||b|sinθ
と表されるのです。

さて、先ほども書いたようにa×bはベクトルですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません。
ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。

a×bは、大きさが
　　|a×b| = |a||b|sinθ
で表され、aとbの両方に直交するベクトルの内、aからbへ右ネジを回す方向を向いたものです。

簡単に言うと、定義より、a×bはaと直交します。同様にa×bはbとも直交します。
さらに-(a×b)もa,bの両方に直交します。

そのことを踏まえると、
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交するベクトルは
　　c = ±(a×b)
と書けます。
さらにcに平行な単位ベクトルを求めれば、それがa,bの両方に直交する単位ベクトルとなります。
求めるベクトルeは
　　e = c/|c| = ±(a×b)/|a×b|
です。

a×bの成分を与えられたa,bの成分から求めれば、eの成分表示を具体的に書けるでしょう。

お礼

こ、こんなに簡単に求める方法があるとは！？
　c = ±(a×b)
この式は教科書をあさるとあったのですが、まさかこれが直交するベクトルの式だったとは＞＜
・・・・もう少しわかりやすく書いてほしいよ、教科書・・・。
回答、ありがとうございました！

回答No.3

info22_

>ベクトルの外積はa×b＝|a||b||sinθ|c (c=(a×b)/|a×b|)であらわされ、平行であることを示せるのはわかるのですが、直交は調べられないのでしょうか？

|a×b|=|a||b||sinθ|=0　つまり　sinθ=0（θ=0 or π）
で平行であることが示せますね。

直交は
|a×b|=|a||b||sinθ|=|a||b| つまり　|a×b|/(|a||b|)=1

で直交すなわち
sinθ=±1(θ=π/2 or -π/2)
であることが示せます。

外積は x,y,z 方向の単位ベクトルをそれぞれ i,j,k と置けば
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)の外積は a×b は次の行列式で与えられる。
a×b=
|i j k|
|0 1-1|
|4-1 3|
=2i-4j-4k
=(2,-4,-4)
a,bに直交するベクトル単位ベクトルc=-c'は

|a|=|(0,1,-1)|=√2,|b|=|(4,-1,3)|=√(16+1+9)=√26であるから

c,c'=±(a×b)/(|a||b|)
=±(2,-4,4)/(√2√26)
=±(1/√13,-2/√13,-2/√13)

となります。

以上を図示して添付図に示しておきます。

お礼

なるほど！
　|a×b|/(|a||b|)=1
この式は思いつきませんでした。
確かにこうすれば、sinθ=±１と求められて、θがπ/2、3π/2と示せますね。
わかりやすい解説に図、ありがとうございます！

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞ベクトルの外積はa×b＝|a||b|sinθであらわされ、
うーん、こうではないですね。
|a×b|＝|a||b|sinθ

とはなりますが、ベクトルの外積自体はスカラー量ではなくベクトル量です。
そして、その「方向」は a→と b→に垂直となる方向（a→の先から b→の先へ右ねじを回したときに、そのねじが進む方向）になります。

一応、図をつけておきますが、きれいなものではないので、検索して確認してみてください。

お礼

う～ん・・・つまり、外積はベクトルで方向性があり、|a||b|sinθで求められるのはスカラーで大きさだけなのですね。
なかなか、難しい・・・
回答、ありがとうございました！