H L

質問

変換　F(x,y)= (19 x + y, 7 x + y) により
H: a*x+b*y+c=0 が　不変　F(H)=H となる　H を　全て　求めよ

変換　F(x,y,z)=(-y,-x,3 y+2 z) により
直線L \[Subset]R^3 が　不変　F(L)=L となる　L を　全て　求めよ;

回答No.1

jcpmutura

1)
変換F(x,y)=(19x+y,7x+y)により
H:ax+by+c=0
が不変
F(H)=H
となるとき
X=19x+y
Y=7x+y
aX+bY+c=0
だから
a(19x+y)+b(7x+y)+c=0
(19a+7b)x+(a+b)y+c=0
と
ax+by+c=0
は同じ直線だから
19a+7b=ta
a+b=tb
c=tc
となるtがある
c(t-1)=0
だから
t=1又はc=0
となる
t=1の時
a=b=c=0
だから
tの値に関係なく
c=0となるから
直線は
ax+by=0
となる
a^2+ab=tab=19ab+7b^2
a^2-18ab-7b^2=0
(a-9b)^2=88b^2
a=(9±2√22)b
だから
X=(10-±2√22)x
とすると
-(9±2√22)(10-±2√22)=-2-±2√22
F(x,-(9±2√22)x)=((10-±2√22)x,(-2-±2√22)x)=(X,-(9±2√22)X)
だから
F(H)=HとなるHは

H:(9±2√22)x+y=0

2)
F(x,y,z)=(-y,-x,3y+2z)
L:{(x,y,z)=(a,b,c)+t(u,v,w)|t∈R}
F(L)=L
F(a,b,c)=(x,y,z)=(a,b,c)+t(u,v,w)
F(x,y,z)=(X,Y,Z)=(a,b,c)+T(u,v,w)
とすると
F(a,b,c)=(-b,-a,3b+2c)=(a,b,c)+t(u,v,w)
だから
-b=a+tu
-b-a=tu
-a=b+tv
-a-b=tv
tu=-a-b=tv
t(u-v)=0
だから
t=0又はu=v

(x,y,z)=F(a,b,c)=(-b,-a,3b+2c)=(a,b,c)+t(u,v,w)
だから
x=-b
y=-a
z=3b+2c
z-c=3b+c=tw
(X,Y,Z)=F(x,y,z)=(-y,-x,3y+2z)=(a,b,c)+T(u,v,w)
だから
X=-y=a
Y=-x=b
Z=3y+2z=3(-a)+2(3b+2c)=-3a+6b+4c
X-a=0=Tu
Y-b=0=Tv
Z-c=3(-a+2b+c)=Tw
だからT=0.又は.u=v=0

t=0の時
-y-x=-b-a=tu=0
-x-y=-a-b=tu=0
z-c=3y+z=3b+c=tw=0
Z=3y+2z=z=c
3a=-3b=c
3x=-3y=z
3X=-3Y=Z
b=-a
Y=-X
y=-x
c=3a
Z=3X
z=3x
だから
F(x,-x,3x)=(x,-x,3x)
だから
∴
L:{(x,-x,3x)|x∈R}

u=v=0の時
x-a=tu=0
y-b=tv=0
だから
X=x=a
Y=y=b
b=-x=-a
だから
X=x=a
Y=y=-a
だから
z'=-3a+2zとすると
F(a,-a,z)=(a,-a,z')
だから
∴
L:{(a,-a,z)|z∈R}

(t≠0)&(u≠0.又は.v≠0)の時
(u=v)&(T=0)だから
x=-b
y=-a
z=3b+2c
(X,Y,Z)=F(x,y,z)=(-y,-x,3y+2z)=(a,b,c)+T(u,u,w)=(a,b,c)
だから
X=-y=a
Y=-x=b
Z=3y+2z=-3a+6b+4c=c
-3a+6b+3c=0
-a+2b+c=0
c=a-2b
z=3b+2c=3b+2a-4b=2a-b
Z=c=a-2b
x-a=-b-a
y-b=-a-b
だから
z-c=z-(a-2b)=2a-b-a+2b=a+b=a-x=b-y
だから
x-a=y-b=a-2b-z
X-a=Y-b=a-2b-Z=0
だから
x-a=tu
y-b=tu
z-(a-2b)=-tu
だから
s=-a-b-t
とすると
F(a+t,b+t,a-2b-t)=(-b-t,-a-t,2a-b+t)=(a+s,b+s,a-2b-s)
だから
∴
L:{(a+t,b+t,a-2b-t)|t∈R}

∴
変換F(x,y,z)=(-y,-x,3y+2z)により
直線L⊂R^3が不変F(L)=LとなるLは次の3通りある
L:{(x,-x,3x)|x∈R}←(原点(0,0,0)を通る方向(1,-1,3)の直線)
L:{(a,-a,z)|z∈R}←(点(a,-a,0)を通る方向(0,0,1)の直線)
L:{(a+t,b+t,a-2b-t)|t∈R}←(点(a,b,a-2b)を通る方向(1,1,-1)の直線)