三角形の相似

質問

証明の途中、三角形の相似条件が導けないので、質問します。
△ABCの外接円周上の点Pとする。BC,CA,ABの上に点D,E,FをPD,PE,PFがそれぞれ
BC,CA,ABと等角をなすようにとる。PD,PE,PFの上にそれぞれ点L,M,Nを　
DL:PL=EM:PM=FN:PN(点L,M,Nは同時に、線分PD,PE,PFの上、またはそれらの延長上にある)であるようにとります。
証明は∠PDC＝∠PEC,∠PBD=∠PBC=∠PAC=∠PAEから、△PBD∽△PAEかつ
DL:PL=EM:PMであるから。△PBL∽△PAM,△DBL∽△EAMというものです。△PBD∽△PAEは、∠PBD＝∠PAEかつ∠DPB＝∠EPAよりわかりました。しかし△PBL∽△PAMは、∠LPB＝∠MPAかつPB:PA=PL:PMなどが導けずわかりません。△PBD∽△PAEから、対応する線分の長さの比や、対応する角の大きさがすべて等しいことを挙げ連ねてもわかりませんでした。また△PBL∽△PAMが証明できれば、相似な三角形から相似な三角形を除いた、残りの三角形も相似から△DBL∽△EAMも証明できると思います。
△PBD∽△PAEかつDL:PL=EM:PMから、どのように△PBL∽△PAMの相似条件を導いたかを教えてください。お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

△PBD∽△PAE
だから
対応する角の大きさがすべて等しいから
∠BPD=∠APE
↓∠BPD=∠LPB,∠APE=∠MPAだから
∠LPB=∠MPA…(1)

対応する線分の長さの比がすべて等しいから
PB:PA=DP:EP…(2)

DL:PL=EM:PM
↓DL=PL-DP
↓EM=PM-EPだから
(PL-DP):PL=(PM-EP):PM
(PL-DP)/PL=(PM-EP)/PM
1-(DP/PL)=1-(EP/PM)
↓両辺から1を引いて-1をかけると
DP/PL=EP/PM
↓両辺にPL/EPをかけると
DP/EP=PL/PM
DP:EP=PL:PM
↓これと(2)から
PB:PA=PL:PM
↓これと(1)から
△PBL∽△PAM

お礼

自分の考えに合わせて、証明をしてくださり、ありがとうございます。