合わせて180°など

質問

幾何学の証明がわからないので、質問します。
△ABCの外接円周上の2点P,Qとする。BC,CA,ABの上に点D,E,FをPD,PE,PFがそれぞれBC,CA,ABと等角をなすようにとる。PD,PE,PFの上にそれぞれ点L,M,Nを　
DL:PL=EM:PM=FN:PN(点L,M,Nは同時に、線分PD,PE,PFの上、またはそれらの延長上にある)であるようにとります。
△PBD∽△PAE,△PBL∽△PAM,△DBL∽△EAMなどの記述の後に、
同様に∠MCQ+∠NBQ=2∠R,CM:BN=CP:BP・・・
同様に∠NAQ+∠LCQ=2∠R,AN:CL=AP:CP・・・などと本に書いてあります。
同様にの後の2つが証明できません。自分では、最初のほうの2Rに等しいは、∠NBQ＝∠CMQ+∠MQC,∠MCQ＝∠BNQ+∠BQNなどとして、三角形の外角、円周角などを利用しても導けません。またCM:BN=CP:BPは△MCP∽△NBPから導けると予想しました。でも相似を証明することはできません。
どなたか同様にの後2つの証明を教えてください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

CM:BN=CP:BPに関して
4点A,B,P,Cは同一円周上にあるから∠FBP=∠ECP
また∠BFP=∠CEPだから、△FBPと△ECPは相似です。
従ってCP:BP=PE:PF=PM:PNとなって、△NBPと△MCPは相似です。
これでCM:BN=CP:BPがわかります。
∠MCQ+∠NBQ=2∠Rについて
QがAに等しければ∠MCQ+∠NBQ=∠MCA+∠NBA=∠NBF+∠NBA=2∠Rとなります。(△FBNと△ECMは相似であることを使った)
QがAに等しくない場合でも、∠MCQと∠NBQが弧AQの円周角の分だけ大きくなったり小さくなったりするだけだから、その和は変化しません。

お礼

相似を使った解説、ありがとうございます。