色々

質問

問題
一辺が12の正方形ABCDの辺BC上に点Pをとり、角PADの二等分線が辺CDと交わる点をE、
CE=k(色々) であるとき、線分APの長さを求めよ。

https://www.youtube.com/watch?v=F2JaJF02o0M

https://inkscape.org/ja/
(<---- ご使用ですか?)

回答No.5

staratras

No.3です。よくよく見てみると少し遠回りをしていました。BPを求めた後は以下のようにした方が簡単ですね。

三角形ABFと三角形EDAは相似だから、AB/BF=ED/DA
12/〔x+√(x^2-144)〕=(12-k)/12　これ以降は同じです。

回答No.4

178-tall

>ANo.2

>「角PADの二等分」角をθとして、
>　tan(θ) = (12-k)/12
>　　　　　= 1 - (k/12)　　　…(1)
>　　　↓
>　θ = arctan{ 1 - (k/12) }
>として、
>線分APの長さ = 12/cos{ (π/2) - 2θ}
>　= 12/cos[ (π/2) - 2*arctan{ 1 - (k/12) } ]　　…(2)

「実務」でなら、このまま「使える」。
　　　　↓
　|AP| = 12/sin[2*arctan{ (12-k)/12 } ]

「テスト」でなら？
「踏み込み不十分」など、因縁つけられるか…。

ならば、
　tan(θ) = (12-k)/12
　　　　↓
　tan(2θ) = 24*(12-k)/{ t*(24-k) }
　　　　↓
　sin(2θ) = tan(2θ)/√{ 1+tan^2(2θ) }
　= 24*(12-k)/√{ k^2(24-k)^2 + 24^2(12-k)^2 }
　= 24*(12-k)/(k^2 - 24k + 24*12 }
らしいので、
　|AP| = 12/sin(2θ)
　= 12*(k^2 - 24k + 24*12 }/{ 24*(12-k) }
　= (k^2 - 24k + 24*12 }/{ 2*(12-k) }
　= 12 + { k^2/2(12-k) }
として…、

なんとか ANo.3 さんの結論へたどり着き、「色々」。

回答No.3

staratras

下の図のように定める。AEを延長し正方形の辺BCの延長線との交点をFとする。AP=xとおく。

ADとBCは平行で、AEは∠PADの2等分線であるから●の角はすべて等しく、三角形PAFは2等辺三角形なのでFP=AP=x

また三平方の定理からBP=√(x^2-12^2)=√(x^2-144)、CP=12-√(x^2-144)だから、CF=x-CP=√(x^2-144)+x-12

一方三角形FCEと三角形ADEは相似で相似比はk:(12-k)だから、CF=12k/(12-k) (0<k<12として考える)

両者は等しいから、√(x^2-144)+x-12=12k/(12-k)
これを解くと、x=(k^2-24k+288)/〔2(12-k)〕
または、x=12+〔k^2/(2(12-k))〕

回答No.2

178-tall

「角PADの二等分」角をθとして、
　tan(θ) = (12-k)/12 = 1 - (k/12)　　　…(1)
　　　↓
　θ = arctan{ 1 - (k/12) }
として、
　線分APの長さ = 12/cos{ (π/2) - 2θ}
　= 12/cos[ (π/2) - 2*arctan{ 1 - (k/12) } ]　　…(2)

…など、「色々」。

回答No.1

noname#232123

問題は、AP=f(k) とするとき、f(k) を決定せよということと解釈します。
正方形の一辺の長さを a とし、座標平面上に正方形をおきます。
計算の都合上、Aを原点Ｏ、AD, AB をそれぞれｘ、ｙ軸上にあるとします。
このとき、Ｐ(k(2a-k)/({2(a-k)}, a) ですから、
AP^2=[ k(2a - k)/{2(a - k)} ]^2 + a^2
=(1/4)*{(a - k)^2 + 2a^2 + a^4/(a - k)^2}.
となります。(0<k<a).
すなわち、f(k)=(1/2)*{(a - k)^2 + 2a^2 + a^4/(a - k)^2}^(1/2).
となります。(0<k<a).