超越

質問

例; 3次方程式x3－3x－a=0が異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲は 容易過ぎ　－2<a<2.

　　　　●aを実数とする。次の超越方程式の区間[0,1]における実数解の個数を調べよ；
x*E^(3*x) - E^(2*x) + (1 + x)*E^x - x - (5/2)*x^2 - x^4=a

左辺の函数　f(x)=x*E^(3*x) - E^(2*x) + (1 + x)*E^x - x - (5/2)*x^2 - x^4 を
微分しf'(x)=_________________,　f(0)=0 ,f'(x)>0 (on x∈[0,1]) を示せますか?
示せなければ　どうしますか??

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

f(x)=xe^{3x}-e^{2x}+(1+x)e^x-x-(5/2)x^2-x^4…(0)
↓微分すると
f'(x)=e^{3x}+3xe^{3x}-2e^{2x}+e^x+(1+x)e^x-1-5x-4x^3
f'(x)=e^{3x}+3xe^{3x}-2e^{2x}+2e^x+xe^x-1-5x-4x^3…(1)
↓微分すると
f"(x)=3e^{3x}+3e^{3x}+9xe^{3x}-4e^{2x}+2e^x+e^x+xe^x-5-12x^2
f"(x)=6e^{3x}+9xe^{3x}-4e^{2x}+3e^x+xe^x-5-12x^2…(2)
↓微分すると
f"'(x)=18e^{3x}+9e^{3x}+27xe^{3x}-8e^{2x}+3e^x+e^x+xe^x-24x
f"'(x)=27e^{3x}+27xe^{3x}-8e^{2x}+4e^x+xe^x-24x…(3)
↓微分すると
f""(x)=81e^{3x}+27e^{3x}+81xe^{3x}-16e^{2x}+4e^x+e^x+xe^x-24
f""(x)=108e^{3x}+81xe^{3x}-16e^{2x}+5e^x+xe^x-24…(4)
↓微分すると
f""'(x)=324e^{3x}+81e^{3x}+243xe^{3x}-32e^{2x}+5e^x+e^x+xe^x
f""'(x)=405e^{3x}+243xe^{3x}-32e^{2x}+6e^x+xe^x
f""'(x)=(e^x)[149e^{2x}+(16e^x-1)^2+243xe^{2x}+5+x]…(5)
↓
0≦x≦1の時(5)から
f""'(x)≧149+5=154>0
だからf""(x)は増加
(4)からf""(0)=108-16+5-24=73
だから
0≦x≦1の時f""(x)>0だからf"'(x)は増加
(3)からf"'(0)=27-8+4=23>0
だから
0≦x≦1の時f"'(x)>0だからf"(x)は増加
(2)からf"(0)=6-4+3-5=0
だから
0<x≦1の時f"(x)>0だからf'(x)は増加
(1)からf'(0)=1-2+2-1=0
だから
0<x≦1の時
f'(x)>0
だからf(x)は増加
(0)から
f(0)=0
だから
0<x≦1の時
f(x)>0

f'(0)=0なので
f'(x)>0(on x∈[0,1])
ではなく
f'(x)>0(on x∈(0,1])
です