次に示す線形空間の基底について

質問

線形空間 W={a*exp(x)+b*exp(-x)|a,b∈R,x∈R}
の基底について求めたいのですが求め方がよくわかりません。
ご存知の方がいらっしゃいましたら回答をお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

W={ae^x+be^{-x}|a,b∈R,x∈R}
とすると
1
はWの基底となる

y∈W
とすると
y=ae^x+be^{-x}となる
a,b∈R,x∈Rが存在する
ae^x+be^{-x}∈R
だから
W⊂R

y∈R
とすると
a=y
b=0
x=0
とすると
ae^x+be^{-x}=ye^0-0e^{-0}=y
だから
y∈W
R⊂W
これとW⊂Rから
∴
W=R

だから
WはRと同じ1次元線形空間
任意の0でない実数は
基底となるから
1
はWの基底となる

1∈R=W
1∈W

任意の実数r∈R=Wに対して
r*1=r∈R=W
だから
1
はWの基底となる

お礼

ご回答ありがとうございました。参考とさせていただきます！