EはK-線形空間とA、Bの基底から

質問

EはK-線形空間。Eの部分空間｛a_1,a_2,…,a_m｝,｛b_1,b_2,…,b_n｝をそれぞれA、Bの基底として、
１：A∩B＝｛0｝
2：｛a_1,…,a_m,b_1,…,b_n｝は一次独立
この1と2が同値と示せますか？

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

少し問題文として意味不明なところがあるけど
（「A, BはEの部分空間、｛a_1,a_2,…,a_m｝, ｛b_1,b_2,…,b_n｝はそれぞれA, Bの基底」とでも書いておかないと意味不明ですよね）、方針としては

* 2->1
A∩B ∋ v ≠ 0 として、vは｛a_1,a_2,…,a_m｝, ｛b_1,b_2,…,b_n｝それぞれの一次結合として書く書き方があるから、そこから｛a_1,…,a_m,b_1,…,b_n｝が一次従属である事を示せば良い。

* 1-> 2
｛a_1,…,a_m,b_1,…,b_n｝が一次従属であるなら、a_iたちの中のどれかはその他のa_iたちとb_jたちの一次結合で書ける（ことを示す）。そこから、（a_iたちのある一次結合) = (b_jたちのある一次結合）という式が導かれることを示し、A∩B ∋ v ≠ 0なるvがあることを示す。