数学 中3 超難関問題

質問

問題を写真に載っけておきました
相似や円周角系や三平方の定理を使うような問題が出され
宿題ね！と言われてしまい、全く分からず悩んでいます

ちなみに、答えは書いてあるらしく
なぜ、こうなるのか説明するだけでいいようです

答えは18と22.5です
分かる方ご回答お願いします

回答No.2

staratras · ベストアンサー

三角形BFGの3つの辺のうち、どの2辺が等しくなれるかを考える必要があります。
BGは円の直径ですので、問題のような三角形の作り方をする限りBG=FGとはなりません。
可能なのは、FB=FGの場合(下の図の左）またはBF=BGの場合(下の図の右）です。
図を手がかりに、どの角とどの角が等しいかを考えれば特別に難問ではないでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございました。
一番分かりやすかったので、ＢＡにさせて頂きます

回答No.3

jcpmutura

∠EBD=x…(1)
弧EDに対する円周角∠EGD=∠EBDだから
∠EGD=x…(2)
|AE|=|ED|→|弧AE|=|弧ED|だから
弧AE,弧EDに対する円周角∠AGE=∠EBDだから
∠AGE=x…(3)
|AB|=|ED|→|弧BA|=|弧ED|だから
弧BA,弧EDに対する円周角∠AGB=∠EBDだから
∠AGB=x…(4)
∠BGD=∠EGD+∠AGE+∠AGB
だからこれに(2),(3),(4)を代入すると
∠BGD=∠EGD+∠AGE+∠AGB=3x…(5)
∠BDGは直径BGに対する円周角だから
∠BDG=90°…(6)
△BGDの内角の和は180°だから
∠BGD+∠DBG+∠BDG=180°
これに(5),(6)を代入すると
3x+∠DBG+90°=180°
両辺から3x+90°を引くと
∠DBG=90°-3x…(7)
∠BDF=180°-∠BDG
だからこれに(6)を代入すると
∠BDF=90°…(8)
△BDFの内角の和は180°だから
∠EBD+∠BFD+∠BDF=180°
これに(1)と(8)を代入すると
x+∠BFD+90°=180°
両辺からx+90°を引くと
∠BFD=90°-x…(9)
∠EBG=∠EBD+∠DBGだから
これに(1),(7)を代入すると
∠EBG=90°-2x
これと(9)からx≠0だから
∠BFD=90°-x≠90°-2x=∠EBG
だから
|BG|≠|FG|
で△BFGが2等辺3角形だから
|BF|=|FG|又は|BF|=|BG|

|BF|=|FG|の場合
∠EBG=∠BGD
これと(5)から
∠EBG=3x
これと(1)から
∠DBG=∠EBG-∠EBD=3x-x=2x
これと(7)から
2x=90°-3x
両辺に3xを加えると
5x=90°
両辺を5で割ると
∴
x=18°

|BF|=|BG|の場合
∠BFD=∠BGD
これと(5)から
∠BFD=3x
これと(9)から
3x=90°-x
両辺にxを加えると
4x=90°
両辺を4で割ると
∴
x=22.5°

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

f272

∠EDB=xとすると
EDに対する中心角=2x
BDに対する中心角=6x
DGに対する中心角=180-6x
EGに対する中心角=180-4x
BDに対する円周角=∠BGF=3x
EGに対する円周角=∠FBG=90-2x
∠BFG=90-x
これでわかるでしょ。

お礼

ありがとうございました。