数列の積の極限

質問

高校数学の問題で分からないところがあります。
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x[n]= {(-2)^(-n)+2} / {(-2)^(-n)-1}
とおくとき、
lim[n→∞] {(x[1]x[2]…x[n]) / (-2)^n}を求めよ。
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これの解き方が分かりません。
ちなみに答えは2/3なのですが…。
どなたか解き方が分かる方いらっしゃいましたら、ご教授願います。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

x[n]= {(-2)^(-n)+2} / {(-2)^(-n)-1}
= (-2) × {(-2)^(-n-1)-1} / {(-2)^(-n)-1}

と書き換えて、これをひたすら掛け算していくと、途中の分子と隣の分母が約分できて、最初と最後だけが残ったものの、ｎを無限大まで極限をとるだけで済むかと思います。

お礼

なるほど！
-2を前に出すという発想が思いつきませんでした…
そうすれば次々に消えていく式が出来上がるのですね。

おかげさまで、理解することが出来ました。
ご回答ありがとうございます！(^o^)