次の確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

・X1,X2,…,Xnが独立にExp(λ)に従うとき,X1+X2+…+Xnの密度関数fn(x)は次の式で与えられることを帰納法で示せ。
fn(x)=
0(x=<0)
(λ^n)*(x^(n-1))*(e^(-λx))/((n-1)!) (x>0)

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

{Xk}_{k=1～n}が独立にExp(λ)に従うとする
Σ_{k=1～n}Xkの分布関数を
F_n(z)=P(Σ_{k=1～n}Xk<z)
とする

f_n(x)=0(x≦0)
f_n(x)=(λ^n)*(x^(n-1))*(e^(-λx))/((n-1)!) (x>0)
とする

Q(n)=[
Σ_{k=1～n}Xkの確率密度関数が
f_nに一致する?
]
とする

X1がExp(λ)に従うから
X1の確率密度関数は
x≦0→0
x>0→λe^{-λx}
だから
Q(1)=[
X1の確率密度関数は
f_1に一致する?
]
は真

ある自然数nに対して
Q(n)
は真と仮定すると
F_{n+1}(z)-∫_{0～z}f_{n+1}(x)dx
=P(Σ_{k=1～n+1}Xk<z)-∫_{0～z}f_{n+1}(x)dx
=∫_{0～z}f_n(x)∫_{0～z-x}λe^{-λy}dydx-∫_{0～z}f_{n+1}(x)dx
=
∫_{0～z}(λ^n)(x^(n-1))(e^(-λx))/((n-1)!)[-e^{-λy}]_{0～z-x}dx
-∫_{0～z}(λ^{n+1})(x^n)(e^(-λx))/(n!)dx
=
∫_{0～z}(λ^n)(x^(n-1))(e^(-λx))/((n-1)!)[1-e^{-λ(z-x)}]dx
+[(λ^n)(x^n)(e^(-λx))/(n!)]_{0～z}
-∫_{0～z}(λ^n)(x^{n-1})(e^(-λx))/((n-1)!)dx
=
∫_{0～z}(λ^n)(x^(n-1))(e^(-λx))/((n-1)!)dx
-(λ^n)e^(-λz)∫_{0～z}(x^(n-1))/((n-1)!)dx
+[(λ^n)(x^n)(e^(-λx))/(n!)]_{0～z}
-∫_{0～z}(λ^n)(x^{n-1})(e^(-λx))/((n-1)!)dx
=
-(λ^n)e^(-λz)[x^n/n!]_{0～z}
+(λ^n)(z^n)(e^(-λz))/(n!)
=
-(λ^n)e^(-λz)(z^n)/(n!)
+(λ^n)(z^n)(e^(-λz))/(n!)
=
0
↓
F_{n+1}(z)=∫_{0～z}f_{n+1}(x)dx
↓
Q(n+1)=[
Σ_{k=1～n+1}Xkの確率密度関数が
f_{n+1}に一致する?
]
は真
∴
すべての自然数nに対して
Σ_{k=1～n}Xkの確率密度関数f_n(x)は
f_n(x)=0(x≦0)
f_n(x)=(λ^n)*(x^(n-1))*(e^(-λx))/((n-1)!) (x>0)
となる

お礼

よくわかりました。丁寧にありがとうございました！