確率についての問題です。

質問

X_1,X_2,…を独立な確率変数で平均1/μの指数分布に従うものとする。(i.e. f(x)=μexp(-μx))　この時a<X_nとなる最小のnを表す確率変数をNとする。すなわち、{N=n}={X_1≦a,…,X_(n-1)≦a,X_n>a}である。ただし,X_n>aなるnが存在しない場合はN=+∞とする。
この時、E[Σ_(i=1)^N X_i ]はa,μを用いてどう表すことが出来るのでしょう？

この問題の誘導問題として、(1)P(N=n)をa,n,μを用いて表せ。(2)条件付き期待値E[X_i|X_i>a]とE[X_i|X_i≦a]をそれぞれa,μを用いて表せ。　という問題が有りました。

それぞれ答えは(1)P(N=n)=exp(-μa)(1-exp(-μa))^(n-1) (2)E[X_i|X_i>a]=exp(-μa)(a-(1/μ)), E[X_i|X_i≦a]=1/μ-a{exp(-μa)}-{exp(-μa)}/μ となるかと思います。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> (2)E[X_i|X_i>a]=exp(-μa)(a-(1/μ)), E[X_i|X_i≦a]=1/μ-a{exp(-μa)}-{exp(-μa)}/μ となるかと思います。

ひょっとして
E[X_i|X_i>a] = ∫_a^∞ xf(x) dx
E[X_i|X_i≦a] = ∫_0^a xf(x) dx
で計算しませんでしたか？

F(x) = ∫_0^a f(x) dx
とおくと、
E[X_i|X_i>a] = ∫_a^∞ xf(x)/(1-F(a)) dx
E[X_i|X_i≦a] = ∫_0^a xf(x)/F(a) dx
で計算しないといけません。
それ以外にも、多分符号の間違いがあるように見えます。

さて、問題のE[Σ_(i=1)^N X_i ]ですが、
E[Σ_(i=1)^N X_i ] = E[E[Σ_(i=1)^N X_i | N]]
= E[Σ_(i=1)^N E[X_i | N]]
= E[Σ_(i=1)^(N-1) E[X_i | N]] + E[E[X_N | N]]
= E[Σ_(i=1)^(N-1) E[X_i | X_i ≦ a]] + E[E[X_N | X_N > a]]
なので、先ほどの条件付き期待値とP(N=n)を使って計算できるでしょう。

お礼

仰る通り勘違いして計算していました。大変勉強になりました。有難うございます。