次の確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

・確率変数X,Yは独立でX～N(8,1),Y～N(7,1)とする。P(2X>=3Y)を求めよ。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

確率変数X,Yは独立で
X～N(8,1),
Y～N(7,1)とすると

X-8～N(0,1)
Y-7～N(0,1)
だから

P(2X≧3Y)
P=(-2(X-8)+3(Y-7)≦-5)
={1/(2π)}∫_{-2(x-8)+3(y-7)<-5}e^{-((x-8)^2+(y-7)^2)/2}dxdy

ここで
U=-2(X-8)/√13+3(Y-7)/√13
として
回転座標変換
u=-2(x-8)/√13+3(y-7)/√13
v=-3(x-8)/√13-2(y-7)/√13
を行うと
u^2+v^2
=(-2(x-8)/√13+3(y-7)/√13)^2+(-3(x-8)/√13-2(y-7)/√13)^2
=(x-8)^2+(y-7)^2

dxdy=dudv
だから

P(2X≧3Y)
P(-2(X-8)+3(Y-7)≦-5)
={1/(2π)}∫_{-2(x-8)+3(y-7)<-5}e^{-((x-8)^2+(y-7)^2)/2}dxdy
={1/√(2π)}∫_{u<-5/√13}e^{-u^2/2}du{1/√(2π)}∫_{-∞～∞}e^{-v^2/2}dv
={1/√(2π)}∫_{u<-5/√13}e^{-u^2/2}du
=P(U<-5/√13)
=1-P(U<5/√13)
↓U～N(0,1)で5/√13≒1.387だから正規分布表によると0.9162～0.9177だから
≒1-0.917
=0.083

お礼

よくわかりました。丁寧にありがとうございました！