離れた辺どうしの垂直

質問

円に内接する四辺形ABCDの対角線AC,BDの交点をPとし、三角形ABPの外接円の中心をQとすると、PQ⊥CDであることを証明せよ。
という問題がわかりません。
略解では、CQ²=CP・CA+PQ²=CP²+CP・CA+PQ² と書かれていまが、まったくわかりません。左辺から真ん中の辺は、弧の中点があるならば、真ん中の辺に似た形になるようですが、この問題では、弧の中点は出てきません。真ん中の辺から右辺は三角形CPQに、三平方の定理を使ったように見えますが、略解に載っていた図では、三角形CPQは、直角三角形ではないようです。
CQ²=CP・CA+PQ²=CP²+CP・CA+PQ²に、使われた定理や公式を教えてください。
お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

CQ^2-PQ^2=(CQ+PQ)(CQ-PQ)である。
CからABPの外接円に向かって引いた直線を考えて、直線と外接円の交点(2つある)をRとSとすれば、CQ+PQとCQ-PQはCRとCSに等しい。(Qが外接円の中心でPQが外接円の半径に等しいから)
したがって=CR*CSになり、方べきの定理を使えば=CP*CAになる。ここからCQ^2=CP*CA+PQ^2が導ける。
またCA=CP+PQだからCP*CA+PQ^2=CP^2+CP*PQ+PQ^2となる。

でもなぜこんな式を考えているのかよくわからない。
角ACD
=角ABD(四角形ABCDは円に内接するから)
=角APK(ただしKは外接円ABPのPにおける接線上の点でありBと反対側にある点)(接弦定理)
となってCDとPKは平行になる。
ところがPKとPQは垂直だからCDとPQは垂直になる。
とするのが簡単だと思う。

お礼

２つも解答を教えてくださり、ありがとうございます。

補足

Cから△ABPの外接円に引いた直線と、外接円の交点をCから遠い方をR、近いほうをSとしました。CQ+PQ=CQ+QRが、三角形の1辺(CR)は2辺の長さ(CQ+QR)より小さいによって、CQ+QRがQRに等しくなりません。
自分の考えの訂正をお願いします。

回答No.2

f272

#1です。
「CからABPの外接円に向かって引いた直線」と書いたけど言い忘れていた事があった。「CからABPの外接円に向かって引いた直線でQを通るもの」です。
だからC，R，Qは一直線上にあるのです。
従って「三角形の1辺(CR)は2辺の長さ(CQ+QR)より小さい」とはならない。

お礼

素早いお返事、ありがとうございます。