2004年広島県立大学の入試問題です。

質問

△ABCは円Oに内接しAB=AC=4,BC=3とする。
頂点Aを通らない弧BC上を点Pが動く。
BP＋CPの最大値を求めよ。

cosA＝23/32、sinA＝3√55/32をあらかじめ出して、
正弦定理と加法定理を使って出したら、24/√55と出ましたが、あっていますでしょうか。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

答えの数値は合っています。以下のように三角関数などを使用せず、幾何の知識だけでも解けます。

△ABCはAB=ACの二等辺三角形なので、外接円の中心Oは頂点Aを通る底辺BCの垂直二等分線上にある。

この底辺BCの垂直二等分線が△ABCの外接円と頂点A以外で交わる点をPとする。外接円の劣弧BC上で点P以外に点P'をとると、劣弧BC上で点Pと対称の位置にP"をとることができ、図の対称性から明らかにBP'+CP'=BP"+CP"である。

このときP'とP"はBとCを焦点とする同一の楕円上にあり、外接円の劣弧BC上でこの楕円の外側に点P~をとることができて、BP~+CP~>BP'+CP'(=BP"+CP")なので、BP'+CP'は最大値ではない。BとCを焦点とし、点Pで外接円に接する楕円を考えるとこの楕円の外側に円周上の点は存在しないので、BP+CPが最大値である。

ここで、外接円の半径をR、BP=CP=xとおく、APは外接円の中心Oを通る円の直径となり、APとBCは四角形ABPCの直交する対角線となる。また△ABPと△ACPは合同な直角三角形である。

四角形ABPCの面積は、△ABPの2倍であり、かつ直交する対角線の積の1/2だから、4x/2・2=2R・3/2 よりR=4x/3

△ABPに三平方の定理から4^2+x^2=(2R)^2 　 x^2+16=4R^2 これにR=4x/3を代入すると　55x^2/9=16 x>0だから　x=12/√55　

よってBP+CPの最大値は　2x=24/√55

お礼

図面は思いついて、二等辺三角形になるときが最大だということも、
すぐにひらめいたのですが、それが何故なのかまでとなるとなかなか難しかったですね。

回答No.1

yyssaa

＞あっています。