微分 面積 困ってます

質問

こんばんは。突然ですが、以下の問題を解いて頂きたいのです。

公式を使って解き始めたはいいものの、ぐちゃぐちゃしてきてどうすればいいのかも分かりませんでした。ぜひ解説をお願いします。

答えは
（1）（–a–1/2a,[–a–1/2a]^2）
（2）S=1/6(2a +1/2a)^3
（3）a=1/2で最小値4/3

分かりにくかったらすみません、（1）（2）の分母は2aです。

回答No.3

MSZ006

（２）
点P、点Qからｘ軸におろした垂線の足をそれぞれP'、Q'とすると、四角形PQQ'P'は台形になります。この台形の面積からy=x^2とｘ軸で囲まれる面積（xの変域；-a-1/(2a)≦x≦a)を引いた部分が求める面積S(a)となります。

台形の面積は、
1/2(a^2+(-a-1/(2a))^2)(a-(-a-2a))
整理していくと
=1/2(2a^2+1+1/(4a^2))(2a+1/(2a))・・・(1)

y=x^2とｘ軸で囲まれる面積（xの変域；-a-1/(2a)≦x≦a)は、
∮[-a-1/(2a)→a] (x^2)dx
=[1/3 x^3][-a-1/(2a)→a]
整理していくと
=1/3( a^3+(a+1/(2a))^3)・・・(2)

S(a)=(1)ー(2)
ひたすら地道に通分したり展開計算していくと
=1/6(8a^3+6a+3/(2a)+1/(8a^3))
=1/6(2a+1/(2a))^3

（３）
ｘが最小の時にx^3も最小となる。ということを踏まえて、
相加平均相乗平均を使えと書いてあるのでそれをヒントに
2a+1/(2a)≧2√(2a)(1/(2a))
整理すると
2a+1/(2a)≧2
これの最小値は＝２。
2a+1/(2a)=2
4a^2-4a+1=0
(a-1/2)^2=0
a=1/2
のときにS(a)は最小となる。
S(1/2)=(2^3)/6
=4/3

お礼

ありがとうございます。大変助かりました。

回答No.2

asuncion

(2)
積分区間の左端を-(a^2 + 1)/(2a)と変形しておく。
S = ∫[-(a^2 + 1)/(2a) → a](-x^2 - x/(2a) + 1/2 + a^2)dx
たぶんこうだと思うが、これ以降を正しく計算する自信と時間がないので
あきらめる。だれか他の人にお任せします。

お礼

ありがとうございます。後は自分で挑戦してみます。

回答No.1

asuncion

(1)
点P(a, a^2)における接線の傾きはy' = 2xより2aであり、これが
点Pを通るから、接線l1の式はy - a^2 = 2a(x - a)より
y = 2ax - a^2
l1と垂直な直線l2の傾きは-1/(2a)であり、これが点Pを通るから、
l2の式はy - a^2 = -(x - a)/(2a)より、y = -x/(2a) + 1/2 + a^2
l2の式とy = x^2を連立させて、点Qの座標を求める。
x^2 = -x/(2a) + 1/2 + a^2
2ax^2 + x - a - 2a^3 = 0
x = (-1 ± √(1 + 4・2a・(a + 2a^3))) / (4a)
= (-1 ± (4a^2 +1)) / (4a)
= a, -a - 1/(2a)
x = aではない方が点Qの座標だから、点Q(-a - 1/(2a), (-a - 1/(2a))^2)
とりあえずここまで。続きはまた。

お礼

丁寧な解説、大変助かりました。