数II 面積の問題

質問

数II　面積の問題

a>0とし、放物線y=x^2-2x-1をCとする。
Cと直線y=(a-2)x-1で囲まれた部分の面積をS1、
Cと直線y=(2a-2)x-1で囲まれた部分の面積をS2とするとき、
S1:S2= ?

という問題です。
答えは1:8なのですが、
どうやって考えるのか分かりません。
解説おねがいします。

回答No.1

spring135

放物線の(0,-1)における傾きは-2従って、a>0のとき直線y=(a-2)x-1は必ず放物線y=x^2-2x-1とx>0で交差し、交点は(0,-1),(a,a^2-2a-1)です。
同様に
a>0のとき直線y=(2a-2)x-1は必ず放物線y=x^2-2x-1とx>0で交差し、交点は(0,-1),(2a,4a^2-4a-1)です。
S1＝∫(0~a)((a-2)x-1-(x^2-2x-1))dx=∫(0~a)(ax-x^2)dx=a^3/6
S2=∫(0~a)((2a-2)x-1-(x^2-2x-1))dx=∫(0~a)(2ax-x^2)dx=(4/3)a^3
S1:S2=1:8