無限遠点について

質問

リーマン球面の話しをするときなどに、かならず無限遠点を議論しますが、なぜ無限遠点を考える必要があるのですか？？

回答No.2

ranx · ベストアンサー

「必要」はないかもしれません。
ただ、無限遠点を考えることにより、リーマン球面上の点と複素数平面上の点を１対１に
対応づけることができ、例外を考えることなく、全体を統一的に理解できるようになる
ということだと思います。

回答No.3

adinat

純粋に位相空間論の話をしてみることにします。
一般にR^2or複素平面はコンパクトではないです。
つまり有界な閉集合にはなっていない。
そこで一点コンパクト化ということをするのです。
一点コンパクト化というのは、R^2のどこにもないような
一点{∞}を無理やりR^2に加えて、それでR^2∪{∞}
をコンパクトにする位相を入れる、ということをやります。
∞の近くの近傍とは、R^2のコンパクト集合の補集合
というように定義します。これを直感的にいうと、
∞の近くというのは、原点からずいぶんと遠いところ、
といった感じです。つまり無限遠点というわけです。

こうして抽象的に作った位相空間R^2∪{∞}なんですが、
これはリーマン球面と位相同型（1対1）になります。

もちろん立体射影を考えると、北極と無限遠点が対応する
というのは理解しやすいとは思いますが。

お礼

みなさん、参考になる回答ありがとうございました。
僕も理系の学生なのですが、古典解析はどうも苦手で。。。

回答No.1

kurobe3463

球面の1点（北極点）が欠けてしまうからでは？
その点を無限遠点に対応させるのでしょう？
（そういう印象です）