無限遠線とはどこにありますか？

質問

ある平行線を引いたときに無限遠で交わるとしたときの点を無限遠点と言い、
これとは別の組の２本の平行線を引いたときに、無限遠点が２つ出来ないようにするために、
同次座標をとり、z=0という方程式による直線のことを、
無限遠線と言う。

ある本に書かれてある説明を少し書き換、
最後の「z=0という方程式による直線」という意味が分かりません。
z=0のというのは直線ではなく、平面ではないのでしょうか？

無限遠線とは複素平面で無限の場所を円で表現しますが、あれのことではないのでしょうか？
それともこれとは異なる概念なのでしょうか？

ネットなどで検索してもほとんど説明が見つかりませんでしたので、どなたか教えて下さい。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

こんにちは。

２次元射影空間（射影平面）を考えます。この空間の点は、３次元ユークリッド空間の原点を通る直線であると考えることができます。これは、原点を中心とし、半径１の球面と、この直線が交わった２点（対極にある２点）を同一視した点だと考えても同じことです。
この半径１の球面で考えたとき、無限遠点は、xy平面上の直線（ｚ＝０）がこの球面と交わる２点を同一視した点です。厳密ではないですが、分かりやすく言えば、赤道上の点です。無限遠点は、赤道上の点ですから無数にありますね。これらの無限遠点を結んだ直線、即ち、赤道が無限遠直線です。

>z=0のというのは直線ではなく、平面ではないのでしょうか？
そうです。その平面と半径１の球面の交わりが無限遠線です。簡単に言えば赤道のことです。ただし、対極点を同一視することを忘れずに。

>無限遠線とは複素平面で無限の場所を円で表現しますが・・・
複素平面で考えるのは、リーマン球ですよね。あれは、ガウス平面（ユークリッド平面）の一点コンパクト化のためにしていることです。ここで話題にしているのは、２次元射影平面です。対象としている空間が全く異なります。

それではまた。