位相空間 球面

質問

ユークリッド空間R^1に無限遠点を加えると円周S^1になる。
ユークリッド空間R^2に無限遠点を加えると球面S^2になる。

こういう説明がありますが、この場合、無限遠点を通る線は、曲線と言って良いんですか？
たとえば、繋がっているというんでしょうか？

回答No.6

arrysthmia · ベストアンサー

ユークリッド空間の一点コンパクト化 R^n ∪ { ∞ } の位相で
私が個人的に慣れているのは、
ユークリッド距離を d( , ) と書くとして、
V_r = { x∈R^n | d(x,0)>r } が成す集合族 { V_r | r∈R } を
点 ∞ の近傍基とするものです。

「近傍基とする」とは、
ユークリッド空間 < R^n, d > の開集合族を Ｏ と書くとして、
Ｏ ∪ { V_r | r∈R } が生成する開集合系を、
新しい位相空間の開集合族とする　という意味です。

これも「普通」のひとつではないかと思います。
No.4～5 の位相とは、「たぶん」一致するハズです。

お礼

なるほど。説明は（少し）分かりました。

開集合族というのが、開集合の部分集合の集合という意味で合ってますか？
これは、お互いの開集合族が等しい（同じ位相）ならば、開集合も等しいということでよろしいですか？

No.4,5は開集合を使った表現で、No.6は開集合族を使った表現。
どちらも同じことを表している、ということでしょうか？

ところで、次のことはどう考えるのでしょうか？

閉集合[0,0]には0の近傍はない？
それとも、0自身が近傍でしょうか？

(-∞,0)∪[0,0]∪(0,∞)=(-∞,∞)
これは、0の近傍が左右に書いた開集合によって得られたから、連続になった、と考えるのでしょうか？
それとも、0の近傍を定義した時、0の近傍が左右に書いた開集合に含まれるから、連続になった、と考えるのでしょうか？

ありがとうございました。

回答No.13

arrysthmia

←No.12 補足
V_r は ∞ を含まないと解釈してしまうと、
∞ の「近傍」ではなく、「除外近傍」でしたね。

距離関数 d( , ) を拡大解釈して、
　　∀x∈R^n; d(x,∞)=∞,
　　∀r∈R; r<∞
から ∀r∈R; ∞∈V_r としてもバチは当たらないし、
字面どおり、V_r を除外近傍としておいて、
近傍基のほうを { V_r ∪ {∞} | r∈R } に訂正してもよいでしょう。
どっちでも、似たようなものです。

R^n ∪ {∞} は、Ｏ ∪ { V_r | r∈R } には含まれませんが、
∞∈V_r とすれば、Ｏ ∪ { V_r | r∈R } が生成する開集合系には含まれます。

お礼

実は、No.6とNo.4,No5,No.7が同じということが証明できてなくて…
除外近傍という方は、No.4の式と似ていて、あと一歩という気がします。
＃コンパクトなら、という言葉と格闘中です。

距離関数の拡大解釈の方も、理解できました。

ありがとうございました。

回答No.12

arrysthmia

No.9 の [0,0] は、違いますね。失礼しました。
近傍の定義は、No.10 さんの説明どおりです。
（閉区間も距離近傍の内である事は変わりません。）

No.9 の「開集合族」「開集合基」は、標準的な用語ですが、
「開集合系」は、やや恣意的な言葉遣いだったかもしれません。
いわゆる「開集合の公理」を満たす部分集合族を一般に「開集合系」、
その内で、特定の位相空間を定義する開集合族として指定されたものを「開集合族」
と、呼び分けたつもりでしたが…。
「開集合基」は、対象集合の部分集合族で、その集合族を含む最小の「開集合系」が
その位相空間の「開集合族」となるようなもののことです。

＞ 区間[0,∞)はS^1と同相である。

位相空間とは、対象集合と開集合族のペアで定義されるものです。
対象集合が共通でも、ペアとなる開集合族が異なれば、異なる位相空間となります。
（それが、前記で「開集合族」と「開集合系」を区別しようとした理由でもあります。）
S^1 と言えば、単なる点集合としての単位円ではなくて、位相もコミでそう呼びますが、
[0,∞) には、そのような標準的な位相は決まっていません。
強いて言えば、実数空間からの相対位相が標準的ということになりますが、その場合、
S^1 とは、同相ではありません。
ただし、集合 [0,∞) に、適当に開集合族を添えて、S^1 と同相にすることは可能です。

お礼

用語の解説ありがとうございます。
まだ自分でしっくり行ってない部分はありますが、後は慣れですね。

＞集合 [0,∞) に、適当に開集合族を添えて、S^1 と同相にすることは可能です。

そうですね。可能というのが正確な表現ですね。

ところで、No.6に戻っての質問なんですが、

＞V_r = { x∈R^n | d(x,0)>r }
＞Ｏ ∪ { V_r | r∈R } が生成する開集合系を、
＞新しい位相空間の開集合族とする　という意味です。

元の集合に{∞}を加えた集合（R^n ∪ {∞}）は、明確には新しい開集合族には加えられていませんが、これは、V_rに含まれている、と考えていいのでしょうか？
V_rの定義にも、{∞}は出てきませんので、含まれているのかどうか不安なのです。

ありがとうございました。

回答No.11

rinkun

ANo.10のお礼から
> 説明不足でしたが、この場合の近傍とは、閉近傍であり、通常の開近傍とは別のものです。

少なくとも一般の意味での閉近傍であれば、ANo.10で述べた通りです。
閉近傍は近傍のうち閉集合でもあるものであり、それ以外のものではありません。
通常の実数体の位相では、x>0のとき[-x,x]は0の閉近傍ですが、[0,0]は0の近傍になりません。
ただ[0,0]={0}の相対位相で考えるなら、全空間たる[0,0]は開集合かつ閉集合ですから近傍でもありますけど。

お礼

No.9で閉近傍や閉集合族を挙げているのは、言葉の意味を確認するために便利だから使いました。
＃お礼では閉集合群と、間違った言葉を使ってますね（泣）。
開近傍だと、集合の例が書けませんから。
問題になるのは、開近傍でしょうから、実用的な意味はあまりありません。

ありがとうございました。

回答No.10

rinkun

一点だけ。
[0,0]={0}は通常の実数の位相で0の近傍ではありません。
点xの近傍は点xを内点として含む集合です。
0は{0}の境界点であり内点でないので近傍ではありません。

お礼

＞[0,0]={0}は通常の実数の位相で0の近傍ではありません。

説明不足でしたが、この場合の近傍とは、閉近傍であり、通常の開近傍とは別のものです。
もともと[0,0]がユークリッド空間ではないので、こういう位相しか作れないのだと思います。
＃開集合族と閉集合族の関係なんかは、まだ理解の外ですが。

閉区間[0,0]に通常の実数の位相では、開近傍が定められないということであれば、それはその通りだと思います。（多分）

ありがとうございました。

回答No.9

arrysthmia

←No.6 補足
「開集合」と「開区間」の区別がついていない感じで、
心許ない印象です。

全ての開区間から成る集合族は、具体的な一次元実数空間の
開基（開集合基）とはなりますが、開集合族そのものではないし、
一般的な位相空間の開集合とイコールの概念ではありません。
「ある位相空間の開集合族」という用語については、必ず
教科書で確認のこと。そうでないと、話が始まりません。

＞ 開集合族というのが、開集合の部分集合の集合という意味で合ってますか？

「位相空間の開集合族は、対象集合のベキ集合族の部分集合族である」
とでも言うべきでしょう。ベキ集合族から部分集合族を選んで
位相空間の開集合族に決める選び方は、開集合族の公理を満たしてさえ
いれば任意です。ここに、位相空間を好きに創造する余地があります。

繰り言いですが、「開集合の部分集合の」の箇所の「開集合」は、
位相空間の開集合族の元という意味での一般的な「開集合」と
具体的な実数空間での「開区間」がゴッチャになっているようで、
心配です。

＞ 閉集合[0,0]には0の近傍はない？
＞ それとも、0自身が近傍でしょうか？

ここでも「閉集合」と「閉区間」が…。

閉区間 [0,0] とは、要するに、一点集合 { 0 } のことですが、
実数位相では、これは、点 0 の近傍のひとつです。
閉集合ですから、「閉近傍」ですね。よく、近傍基の例として
ユークリッド空間の開近傍系 { { y | d(y,x)<r } | r∈R } などが
挙げられるので、「近傍」というと開近傍ばかり連想しがちですが、
よく見かける位相空間の「近傍」には、開近傍も、閉近傍も、両方
含まれているのが普通です。

「0自身が近傍」は、いただけません。近傍と言うからには、
対象集合の部分集合のひとつでなくては話になりません。
点 0 と、一点集合 { 0 } は、全く別のものです。

お礼

＞「開集合」と「開区間」の区別がついていない感じで、
＞心許ない印象です。

たしかに区別ついてませんでした。

＞教科書で確認のこと。そうでないと、話が始まりません。

教科書は持参してません。
そもそも、位相が出てくる授業はなかったので。
昔、群論の本を持ってたことあるんですが、難しすぎて、あまり進まなかったです。（今はもう手元にもない）
でもWikiがあるので、学べると思っています。

＞ベキ集合族から部分集合族を選んで
＞位相空間の開集合族に決める選び方は

これが、たとえば距離関数を使った近傍系、そのまた和集合の位相空間の開集合族という関係でしょうか。
系、基、族の使い方がまだ分かっていませんが…

開集合族は、開集合のべき集合から、一定の条件で集めた部分集合。
開集合系は、一定の条件がないもの。ただ集めたもの。
開集合基は、開集合族を作る基となる集合。空集合、全体集合、開集合基の和集合で、開集合族となる。
開集合族は、開集合の位相となる。

＞点 0 と、一点集合 { 0 } は、全く別のものです。

区間[0,0]があって、距離関数での近傍が{0}、この時の点が0、近傍系、近傍基も{0}で、閉集合群（位相）はΦ∪{0}∪{0}＝{Φ,{0}}。

ところで、関係ない質問ですが、これは合ってますか？
記憶にしかないもので…
＃違ってても、解説はなくても良いです。

・区間[0,∞)はS^1と同相である。

それと、カタストロフィー理論は、大学で普通に出てきます？
どれくらい難しいのか、想像ついていないので。
＃具体的な話は、ずっと先でお願いします。
＃連続が切れる→カタストロフィーが発生しているという単純な発想です。

ありがとうございました。

回答No.8

33550336

「気がした」だけでは駄目なんです。
厳密な証明を試みてください。
感覚を頼りに話を進めようとするから前回みたいに話が混乱するのです。

それにまだ補足は足りません。

＞無限遠点を通る線
＞曲線
＞繋がっている

の、この文脈における定義をお願いします。
確認しないことには話が進みません。

お礼

残念ながら、位相空間が０の０乗の証明に役に立たないみたいなので、急速に興味が薄れてしまいました。

位相空間のことが少し理解できたので、質問は有意義でしたが、ここで締め切らせていただきます。

中途半端になって、すみません。

ありがとうございました。

回答No.7

33550336

No.4,5です。
ややこしくてすいません。そういうことです。
あと上のR^n∩{∞}もR^n∪{∞}に直してください。
この位相はNo.6さんのおっしゃっている位相と一致します。
証明は任せます。
で、これでいいんでしょうか？

お礼

＞証明は任せます。

No.6のお礼に書きましたが、
＞No.4,5は開集合を使った表現で、No.6は開集合族を使った表現。
という気がしました。

何度もありがとうございました。

回答No.5

33550336

すいません、タイプミスです。
∩をすべて∪に置き換えて考えてください。

お礼

＞(1)　Ｕ∈Ο　なら　Ｕ∈Ο’
＞(2)　Ｕ∈Οの補集合がコンパクトなら　Ｕ∩{∞}∈Ο’

＞∩をすべて∪に置き換えて考えてください。

∪は和集合の記号ですよね？
これに置き換えると、Ｕ∪{∞}∈Ο’

並べると違う文字であることが分かりますが、これで合ってますか？

ありがとうございました。

回答No.4

33550336

前回のような誤解を防ぐため、まず定義の確認から…

「普通」、Euclid空間に無限遠点を付け加えるというのは以下のような作業をする、というのが私の解釈です。

Euclid距離位相の入った位相空間R^nに対し、新たな点{∞}を付け加え、もともとR^nに入っている位相Οを元にR^n∩{∞}に新たな位相Ο’を以下のように定義する。

(1)　Ｕ∈Ο　なら　Ｕ∈Ο’
(2)　Ｕ∈Οの補集合がコンパクトなら　Ｕ∩{∞}∈Ο’

このように定義した位相でよろしいのでしょうか？
ちなみにこの位相なら、S^nに標準的な位相を入れた位相空間と同相になることが知られています。

回答No.3

ojisan7

>無限遠点を通る線は、曲線と言って良いんですか？

ちょっと、ご質問の意味がよく分からないですが、「無限遠点を通る線は、連続かどうか」ということでしょうか。そういう意味ならYESです。ただし、No1さんの述べているように、無限遠点∞を込めた空間にどのような位相が入るかが重要です。
ユークリッド空間の各点に近傍が定義できたように、無限遠点∞にも近傍が定義できます。（どのように定義するかは質問者さんへの宿題とします。）ですから、∞を追加することにより、ユークリッド空間を拡張した位相が定義できることになります。∞を付加することにより、ユークリッド空間が拡張され、コンパクト化できました。ユークリッド空間の各点と∞は同格になったのです。∞を通る線も他の線となんの相違もありません。他の線と同様に、「繋がって」います。

お礼

明確な回答ありがとうございます。

まず欲しかった情報は、無限遠点も繋がるかどうかだったので、疑問の半分は解決しました。
あとの半分のどう繋がるかを考えてみます。

＞無限遠点∞を込めた空間にどのような位相が入るかが重要です。

たとえば、距離関数をどう定義するか、でしょうか？
あれ？距離空間に出来ますよね？

ありがとうございました。