相加相乗平均等号成立について

質問

相加相乗平均で(a+b)/2≧√(ab)で、等号成立がa=bではないような時の条件はどのようなときですか？
たとえば
　a=√{2(s+1)^2+9}
　b=√{(2s^2+1}
の時、a+bが、最小になるときのsを求めると、
s=-1/4の時最小で、a+b=3√2
一方、相加相乗平均を使ってa=bの時、即ちs=-5/2となり、a+b=3√6となり最小ではありません・・・。

回答No.5

guiter

質問文を良く読み返してみると、No.2 で 62016479 さんが書かれているように
「a+bが最小値をとるとき」と「等号成立」を混同されているようです。

ご質問の
　a=√{2(s+1)^2+9}
　b=√{(2s^2+1}
の条件のもとでの a+b の最小値は、
確かに s=-1/4 のときに 3√2 となっていますが、
このとき
　a=(9/4)√2
　b=(3/4)√2
で、a≠b となっており 2√(ab) の値は (3/2)√6 とさらに小さく、
(a+b)/2＞√(ab) で等号は成立していません。

一方、a=b(s=-5/2)のときには
　a=b=√(27/2)
ですから、
　(a+b)/2 = {√(27/2)+√(27/2)}/2 = √(27/2)
　√(ab) = √{√(27/2)*√(27/2)} = √(27/2)
となり、等号が成立していることがわかります。

相加相乗平均の等号成立の条件とは
どんなときに (a+b)/2 が最小値をとるかではなく
どんなときに (a+b)/2 - √(ab) が最小値０をとるかということです。

補足

ありがとうございます。しかしどのような時でも成り立つ訳ではないということはわかりましたが、ではどのような時に成り立たないのかという事がわかりません…。

回答No.4

hikaru_mac

こんばんわ。hikaru_macです。
no.1のguitarさんの回答を見ていろいろひらめきました。

あなたへの回答ですが、
guitarさんの回答を私なりにまとめると、
「あなたが出題した問題で、相加平均相乗平均のわざを使うことはできません。
なぜなら、あなたの問題では、aとbが自由に選べないからです。
aをきめると、bが制限を受けます。
」
ということです。

、、、、。書いていてなんか自信が無くなってきたので自信無しです。

回答No.3

128yen

みなさんが回答されているように等号が成立するのはa=bの時だけです。

かなり以前の記憶なので間違っているかもしれませんが、
a>=0、b>=0の時、

(√a - √b)^2 >= 0　-(1)

a -2√a√b +　b >=　0

a + b >=　2√a√b

(a + b)/2 >= √a√b

等号が成立するのは、(1)よりa = bだけの時です。

回答No.2

62016479

a=bのときは等号は必ず成立します。
これは相加相乗平均の式でbにaを代入すれば、両辺ともaとなることから明らかです。
「a+bが最小値をとるとき」と「等号成立」は関係ありません。
等号成立はa=bのときのみです。
しかもこの例でS=-5/2のとき、a+bは27になるはずです。

回答No.1

guiter

ご質問の例だと a,b の間に関係式があります。
a,b>0 で任意の値をとれるならば、a=b が等号成立の条件です。

f(a,b)=(a+b)/2-√(ab)
とすると、fはa=bで最小値を取ることがわかります。