群の軌道やstabilizer、ブロックなどに関する問題の質問です。

質問

群の軌道やstabilizer、ブロックなどに関する問題の質問です。

Ω := {1, ・・・, n} (n≧3) としSn (n次対象群) のΩ^{2} (Ωの大きさが2の部分集合全体) への作用を考える。
SnはΩ上n重可移なのでこの作用は可移である。
{1, 2} ∈ Ω^{2} のSnにおけるstabilizer（Hとする）を考える。
この群Hは３つの軌道を持ちそれぞれ{1, 2} , ( {1, α}, {2, α} (α≠1,2) ), ( {α, β} (α, β≠1, 2) ) から成る。
Hは1, 2を固定するのでこれらの軌道の長さはそれぞれ 1, 2(n-2), (n-2)(n-3)/2 である。
{1, 2}を含むΩ^{2}上のSnの任意の非自明ブロックはHの他の軌道を少なくとも一つ含む。

という前置きがあって次の問題があるんですがこれがなかなかわからないのでヒントでも何か教えていただければ幸いです。

n≧8のとき, 2(n-2) +1 ≦ (n-2)(n-3)/2 でありこの左辺は右辺を割り切ることはない。
これを使って次を示せ。
「n=4の時を除いて任意のHの２つの軌道を含むブロックはもう一つの軌道も必ず含み、GのΩ^{2}への作用はn≧3かつn≠4なる全てのnについてprimitive(原始的)である。」

Gについての言及はないのでおそらく任意の群Gについてという意味だと思います。
感覚的には任意の群Gのブロック（Δとしa∈Δ）はGa（aのpoint-stabilizer）の軌道の和集合で表されるという事実があるので２つの軌道があって短い方の長さが長い方の長さを割り切らないから短い方の軌道が長い方に含まれていることがないので和集合をとったときに両方の軌道が含まれていないといけない。というような感じだと思ったのですが具体的に式でそれを証明することがなかなか出来ずに困っています。
ヒントでもいいので誰か教えていただけたら恐縮です。

すぐに回答をとしていますがあと３日以内に解決すれば良いのでよろしくお願いします。

回答No.3

tsukita · ベストアンサー

遅くなりました。

原文の解釈は間違っていないように思いますが、やはりいまいち明るみな回答ができません。

というのも、群Gは任意ということですが、例えば、G=Hのとき、

例えば、O1とO2のみからなるブロック

具体的には、
Δ=O1∪O2
{
{1,2},
{1,3},
{1,4},
{1,5},
{2,3},
{2,4},
{2,5}
}
に∀x∈Hを作用させても、Δの各元は軌道を移動するだけなので、
Δ^x = Δ
ですよね？

つまり、第3の軌道O3を含まなくともブロックの定義を満たしています。

ここのところでわからないのですが、
Gに関する私の解釈が間違っていたり、テキストでGに関する但し書きはないでしょうか？
Gは任意の群ということですが、少なくともΩ={1,2,3,4,...,n}に作用する置換群ではありますよね？
置換群にも恒等置換のみからなる（自明な）群や、対称群S_nや{1,2}の固定群などいろいろあるわけですが、この辺りに条件はないのでしょうか？

補足

このテキストの書き方が凄く曖昧で実際僕もよくわかってないのが現状なんですが前後の文脈を見た限りでは、GはΩに可移に作用する群という事だと思います。
最悪GはSnと考えて頂いても良いと思います。

回答No.2

tsukita

定義がいまいちわからないので、質問を重ねてもよいでしょうか？

＞「n=4の時を除いて任意のHの２つの軌道を含むブロックはもう一つの軌道も必ず含み、GのΩ^{2}への作用はn≧3かつn≠4なる全てのnについてprimitive(原始的)である。」

n=5のとき、
{1,2}を固定する固定部分群は、次の12個の置換からなる群H:

H:={
e,
(3, 4),
(3, 5),
(4, 5),
(3, 4, 5),
(3, 5, 4),
(1, 2),
(1, 2)(3, 4),
(1, 2)(3, 5),
(1, 2)(4, 5),
(1, 2)(3, 4, 5),
(1, 2)(3, 5, 4),
}

Ω^{2}はHにより次の3つの軌道O1, O2, O3に分割される:

O1:={
{1,2}
}
O2:={
{1,3},
{1,4},
{1,5},
{2,3},
{2,4},
{2,5}
}
O3:={
{3,4},
{3,5},
{4,5}
}

このとき，

“任意のHの２つの軌道を含むブロック”とは、
どういったものでしょうか？

『Δ s,t, (Oi ∪ Oj) ⊆ Δ where i ≠ j』　？

でもこれだと示そうとしている主張がなりたたないような…。

勘違いでしたらすみません。

補足

>“任意のHの２つの軌道を含むブロック”とは、
どういったものでしょうか？

『Δ s,t, (Oi ∪ Oj) ⊆ Δ where i ≠ j』　？

そう言う事だと思います。
成り立たないですかね？？

原文は
Deduce that, except in the case n=4, any block which contains two of the orbits of H must also contain the third. Hence show G act primitively on Ω^{2} for all n≧3 except n=4.
という文章なんですが訳を間違えているという事は無いと思われます。もし訳が間違っていたらご指摘いただけると嬉しいです。

あと群の作用は右からなんでΔに群Gの元xを作用させることをΔ^xと書く事にしています。

ブロックの定義が若干曖昧になっていたので補足しておきますと、
「・ブロックの定義
ΔをΩ（全体集合）の部分集合としてΔが任意の群Gの元xに対して「Δ^x=Δ」 or 「Δ^x ∩ Δ = Φ (空集合)」が成り立つときΔをGのブロックという。」
任意の群Gの元xというのは「∀x∈G」という意味です。Gが任意だと思われたなら失礼しました。

回答No.1

tsukita

＞{1, 2}を含むΩ^{2}上のSnの任意の非自明ブロックはHの他の軌道を少なくとも一つ含む。
＞Hの２つの軌道を含むブロック
＞原始的

もし面倒でなければ、補足として

・ブロックの定義
・Ω^{2}上のSnのブロック
・非自明なブロック
・原始的

の定義を教えてください。

補足

・ブロックの定義
ΔをΩ（全体集合）の部分集合としてΔが任意の群Gの元xに対して「Δ^x=Δ」 or 「Δ^x ∩ Δ = Φ (空集合)」が成り立つときΔをGのブロックという。

・非自明なブロックは1点集合とΩ全体（この二つはブロックの定義から必ずブロックになる）以外のブロックの事です。

・原始的
Gが可移で、かつ非自明なブロックが存在しないときGによる作用は原始的であると言います。

こんなところでしょうか。