受験生時代に解答してくださった皆さんありがとうござ

質問

受験生時代に解答してくださった皆さんありがとうございました。
現在無事第一志望の大学で学生やってます。

ところで今日の質問は以下のようなものです。

「ある角Aを三等分したうちのひとつの角をαとおく。このときtanαはtanAと有理数のみを用いて表されることを示せ」

とのことです。
加法定理を使ってtanAとtanαの関係式は作ったのですが、そこから進め方がわからずつまっております。
解答の解る方教えてください！
お願いします

回答No.3

noname#227255

3倍角の公式から、
sinA=3sinα-4(sinα)^3=－(1)
cosA=4(cosα)^3-3cosα－(2)

0≦A＜2πの範囲において、A≠3π/2（α≠π/2）として、式(1)(2)の両辺をcosαで割ると、
sinA/cosα
=3tanα-4(sinα)^2tanα
={3-4(sinα)^2}tanα
=[3-4{1-(cosα)^2}] tanα
={4(cosα)^2-1}－(3)
cosA/cosα=4(cosα)^2-3－(4)

式(4)において、(cosα)^2≠3/4とすると、式(3)(4)から、
sinA/cosA={4(cosα)^2-1}tanα/{4(cosα)^2-3}=tanA－(5)

式(5)において、(cosα)^2≠1/4とすると、
tanα={4(cosα)^2-3}tanA/{4(cosα)^2-1}=[1-2/{4(cosα)^2-1}] tanA－(6)

式(6)において、cosαが有理数であれば、当然tanαはtanAと有理数のみを用いて表されます。
また、式(6)において、例えばcosα=(1+√2）/3とすると、
(cosα)^2=(3+2√2)/9（無理数）
となって、tanαはtanAと有理数のみを用いて表されません。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

結論からいうと、表されません。
tanα = x , tanA = k とおくと、A = 3α より
k = tan(2α+α) = (tan2α + tanα) / ( 1 - tan2α tanα ) = ... = (3x-x^3) / (1-3x^2) ... (*)
となります。この式の分母を払って x について整理すると
x^3 - 3kx^2 - 3x + k = 0
という x の3次方程式が得られますが、この解を一般的に「k と有理数のみ」で表すことはできません。

たとえば k = 1 のとき、この3次方程式の3つの解は x = -1 , 2±√3 となります。
A = 45° → α = 15° より tanα = 2-√3 なのですが、この時点で「tanAと有理数で表す」ことはできない、といえます。

「tanAをtanαと有理数で表す」なら (*) の式でよいのでしょうが…。

回答No.1

178-tall

下記 URL などにある tan の 三倍角公式のこと？　それとも…？
　　　↓

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7#.E5.80.8D.E8.A7.92.E3.83.BB.E4.B8.89.E5.80.8D.E8.A7.92.E3.83.BB.E5.8D.8A.E8.A7.92.E3.81.AE.E5.85.AC.E5.BC.8F