cos75°を数Iの知識で解く方法

質問

以前cos75°の解き方を質問して加法定理での解き方を教えていただきました。
http://okwave.jp/qa/q7722629.html

この問題は看護学校の社会人入試の過去問で
出題の範囲は数Iです。問題のみで回答はついていません。

問題用紙と解答用紙が一枚になっていて解き方も
見られるので数Iの範囲の問題を数IIの加法定理で解くのは避けたいです。

自分の持っている数Iの参考書では解き方が載っていなくて
テクニックとして加法定理を使うように薦められています。

sin(90°-θ)やcos(90°+θ)のような数Iの公式だけで解けるのでしょうか？
sin15°とcos15°もあわせて数学が苦手な社会人にもわかりやすい回答よろしくお願いします。

回答No.6

staratras · ベストアンサー

一般的な2枚組の三角定規の辺の比が、（2：1：√3）と（1：1：√2）であることは数1の三角比の範囲だと思います。これを使った回答を示します。計算の便宜のために、どちらの直角三角形も斜辺の長さを2とします。

添付した図のように、2枚の三角定規ABCとDBEを重ねた形を考えます。
辺の長さは、AB=DB=2,AC=BC=√2、BE=√3、ED=1 です。
ここでFはACとBDの交点、FGはFからABに下ろした垂線です。

ここで△FBCと△DBEは相似なのでFC:DE＝BC:BEからFC:1＝√2:√3　
FC=√2/√3=√6/3　よってAF=AC-FC=√2-(√6/3)　
また同様にFB=2×(√2/√3)=(2√6)/3
△AGFはAG=GFの直角二等辺三角形だからGF=AF/√2=1-(√3/3)
ここで∠ABF=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°だから

cos75°=sin(90°-15°)=sin15°=GF/FB=(1-(√3/3))/((2√6)/3)=(√6-√2)/4

sin75°=cos(90°-75°)=cos15°=GB/FB=(AB-AG)/FB=(2-(1-(√3/3)))/(2√6)/3=(√6+√2)/4

お礼

詳しい回答ありがとうございます、とても参考になりました(*^^)

回答No.7

ereserve67

Ano.4です。説明にそって作図してもらえばわかるとおもいますが、少し補足。
・Dは辺AC上の点
・BD=BC=x
・BC:CD=AB:BC(△BCD∽△ABC)よりx:CD=1:x,CD=x^2
・△ABDにおける正弦定理：AD/sin∠ABD=BD/sin∠BAD,またAD=AC-CD=1-x^2,∠ABD=75゜,∠BAD=30゜

お礼

回答ありがとうございます、参考にさせていただきます。

回答No.5

neKo_deux

15°の場合に関しては幾何的？に何とか。

1) 1/4単位円を想定。
2) 傾き30°の線分(赤)を引く。
3) △OABの、Aの座標は(√3/2, 1/2)
4) ∠AOBの二等分線(傾き15°の線)(青)を引く。
5) 青線とABの交点をDとする。
6) DからOAに垂線を下ろし、その足をCとする。
7) OB=OCなので、OCの長さは√3/2、OAの長さは1。
　　よって、Cの座標は(√3/2 × √3/2, 1/2 × √3/2)＝(3/4, √3/4)
8) CDは、上の点Cを通る。
　　また、CDの傾きは30度と垂直なので、-√3。
　　従ってCDは、
　　(y - √3/4) ＝ -√3 × (x - 3/4)
　　と表せる。
9) AB(x=√3/2)との交点がDとなるので、上の式にブッ込んで、
　　(y - √3/4) ＝ -√3 × (√3/2 - 3/4)
　　y ＝ -√3 × (√3/2 - 3/4) + √3/4
　　　＝ ～
　　　＝ √3 -3/2
10) 従って、Dの座標は(√3/2, √3 -3/2)。

cos15°の計算だと、OB/ODで算出とか。

お礼

詳しい回答ありがとうございます、とても参考になりました(*^^)

回答No.4

ereserve67

ガラケーから回答してるのでお見苦しいかも知れませんが。

頂角30度の二等辺三角形ABCにおいて

AB=AC=1,BC=x

とします。辺AC上に

△BCD∽△ABC

となる点をとると

BD=x,CD=x^2
∴AD=1-x^2

△ABDにおける正弦定理より

(1-x^2)/sin45゜=x/sin30゜
x^2+√2x-1=0

x>0より

x=(√6-√2)/2

よって辺BCの中点をMとすると

cos75゜=cos∠ABM=BM/AB=x/2=(√6-√2)/4

お礼

詳しい回答ありがとうございます、とても参考になりました(*^^)

回答No.3

178-tall

訂正。

cos(75 deg) = sin(15 deg) などの変形じゃ、cos(75 deg) の値に到達不可能でしょうね。

回答No.2

178-tall

cos(75 deg) = sin(75 deg) などの変形じゃ、cos(75 deg) の値に到達不可能でしょうね。

三角関数なら、「半角算式」を使います。知らなければ、「ピタゴラス」流の勘定ぐらいはできないと、答えにたどりつけません。

とりあえず、参考 URL の ANo.8 を一読してみてください。
「弦長」の半角算式、が書いてあります。この程度の勘定は避けられません。

「とても駄目」なら、あきらめるしかなさそう。
「何とかしたいが不明点あり」ならば、ここへ追加質問でもどうぞ。

参考URL：

http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa7740072.html

お礼

回答ありがとうございます。
倍率１０倍程度の国立に合格出来ました。

回答No.1

suko22

以下のＵＲＬのような問題の流れなら数Iの範囲で求められます。

http://okwave.jp/qa/q7734746.html

お礼

回答ありがとうございます。