この漸近線の書き方教えてください。

質問

Y=X/（X~2-1）
解答では、ｘ＝－１、ｘ＝１、ｙ＝０

解説では、極限して発散させたりして確かめてるん
ですが、なぜそんなことをするのかもわかっていません。簡単な斬近線ならかけるのですが・・・
簡単な方法があったら教えてください。

回答No.2

track · ベストアンサー

その公式は１次式に対してのものです。
分母の次数に注目してください。分母が２次式になっているので、分解すると２つ出てきます。２つ出てきたものに対して、その公式をそれぞれ適応させただけです。
xの２次式なのでxの漸近線が２つ存在することになります。
これは１次方程式とか２次方程式に似ていますよね。
あまり深く考える必要はないと思います。

グラフがややこしい形になるだけで、問題はありません。普通にxに適当な値を代入していけば問題なくグラフが描けるはずです。

まあ、「こういうもの」として覚えると言ってしまえばそうなりますが…。

お礼

再回答ありがとうございました。2次関数だからとは考え付きませんでした。
とてもわかりやすかったです。

回答No.1

track

漸近線の書き方というか、見つけ方は分かりますか？

y=k/(x-p) +q　において、
xの漸近線は、x=p
yの漸近線は、y=q

この形に変形すればすぐに書けると思います。

質問にある式を変形すると、
y=x/(x^2-1)
=x/(x+1)(x-1)
={1/(x+1) + 1/(x-1)}/2　（←部分分数に分解した）

この式で、xの漸近線はx=-1とx=1。
yの漸近線は、+qにあたるものがないのでy=0となります。
実際、
x→±∞のときy=0
x→1+0のときy=+∞
x→1-0のときy=-∞
x→-1+0のときy=+∞　　　
x→-1-0のときy=-∞となっているので、漸近線だと分かります。

漸近線は、グラフが限りなく近づいていく線のことを表しています。
xの値を無限に飛ばしていった時のyの値とかです。
極限を調べると、グラフが最終的に近づく値が分かるので、グラフの形のイメージが大体分かります。
複雑な式の時に極限を調べないと、例えば本来ならx軸と交わらないはずのグラフなのに、x軸と交わるようなグラフを書いてしまうということがあるからです。
また、発散するとき+∞と-∞を間違えることもあります。
あと、原点を通るのかなどの注意も必要です。

お礼

回答ありがとうございました。よくわかりました。
ただ、１点だけあいまいなところが・・・

＞y=k/(x-p) +q　において、
＞={1/(x+1) + 1/(x-1)}/2　（←部分分数に分解した）

k/(x-p)の部分が1つの分数なのに、{1/(x+1) + 1/(x-1)}の部分は2つの分数になってしまっていますが、これは「こういうもの」として覚えてしまったほうがいいのでしょうか？