コブ-ダグラス型生産関数の問題の解答

質問

以下の問題の解答があっているかどうか、添削をお願いします

Y=実質GDP、A=全生産性要素、K=資本、L=労働、aは0<a<1として
Y=A・K^a・L^(1-a)のコブ-ダグラス型生産関数を考える
１．a=0.4のとき、今後10年で人口が4%減少するとき、GDPの成長率は何%変化するか(A、Kは一定とする)
２．またこのとき、一人当たりGDPの成長率は何％変化するか

１．生産関数を対数微分法で両辺を微分すると
ΔY/Y=ΔA/A+0.4×ΔK/K+0.6×ΔL/L
このときA、Kが一定だから
ΔY/Y=0.6×ΔL/L
人口が4％の減少だから、GDPの成長率ΔL/Lは
0.6×(-4)=2.4％の減少となる

2.GDPが2.4％の減少で、人口が4％減少してるから求める一人当たりGDPの減少率は
2.4/(96/100)=2.5％の減少となる

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

全微分というのは、近似的計算なんですね！
だから、一人当たりのGDPについても、微分を用いるとすると、問2は
Δ(Y/L)/(Y/L) = ΔY/Y - ΔL/L = - 0.024 - (-0.04) = +0.016
で与えられ、一人あたりGDP(=Y/L)は1.6％の増加となる、というのが答えでしょう（この答えが要求されていると思いますよ）。
いずれにせよ、あなたの一人当たりGDPが「減少」するというのは正しくありません！GDPは減少するけれど、人口はそれ以上に減少するのだから、一人あたりのGDPはむしろ上昇するのです！
どこが間違いというと、あなたのやり方で計算するなら、
(1-0.024)/(1-0.04) - 1 = 0.976/0.96 -1 = 1.016６7- 1 = 0.0167
（つまり、1.67％の増加）としなければなりません。
前の答えと今度の答えの差（後者のほうが0.007％大きい）は微分を使って近似的答えを出すか、それともGDPの増加を正確な数値として「正確」な答えを出すかの差です。

お礼

問2に関しては全くその通りで、勘違いをしておりました
ありがとうございました