複素積分の答えに辿り着けません
複素積分
∫{ (x sin*kx)/(x^2 + a^2) , x, -∞, ∞} = πe^(-ka) (k>0) の答えに辿り着けません。
「なっとくする複素関数」という本に載っていた問題です。
自分でやったところまで書きますと
∫_c{(z sin*kz)/(z^2 + a^2) , z}
= ∫{ (x sin*kx)/(x^2 + a^2) , x, -R, R} + ∫{ (z sin*kx)/(z^2 + a^2) , z, 半円}
で、∫{ (z sin*kx)/(z^2 + a^2) , z, 半円}はゼロになります（証明略）。
∫{ (x sin*kx)/(x^2 + a^2) , x, -R, R}は今回求めるものなので、
∫_c{(z sin*kz)/(z^2 + a^2) , z}を求めればよいことになります。
そして、
∫_c{(z sin*kz)/(z^2 + a^2) , z}
= ∫_c{ 1/(z - ia) * (z sin*kz)/(z + ia) , z}
にして、1位の極はia、F(z) = (z sin*kz)/(z + ia)になります。
F(ia) = [ia * sin{ k(ia) }]/(ia + ia)
= {ia * sin(ika)}/2ia
= sin(ika)/2
I = 2πi * sin(ika)/2
= πi sin(ika)
…ここまでが限界です。これ以上近付けません。
sin kz = {e^(ikz) + e^(-ikz)}/2
と代入しても、結果は
{e^(-ka) - e^(ka)}/2 で
I = 2πi * {e^(-ka) - e^(ka)}/2
= πi{e^(-ka) - e^(ka)}
です。どうか答えまで辿り着かせてください。お願いします。
お礼
本当ですね、気がつきませんでした。 自分の考え方が合っている事がわかって良かったです。 有り難うございました。