積分を教えてください。

質問

こんな質問はしたくないのですが…ブラウン運動の初歩のところで
　∫[-π～π]dk(cos(kx)-1)/(cos(k)-1) = 2π｜x｜
という積分が出てくるのですが、これがうまく導出できません。また、∫dk(cos(2k)-1)/(cos(k)-1)　の不定積分をを私が計算すると2sin(k)+2k になりましたが、maximaに計算させると

3 SIN (k)
------------- + 1
2
SIN(k) (COS(k) + 1)
(D1) 2 (ATAN(----------) + --------------------------)
COS(k) + 1 3
2 SIN (k) 2 SIN(k)
------------- + ----------
3 COS(k) + 1
(COS(k) + 1)

SIN(k)
ATAN(----------)
COS(k) + 1 SIN(k) COS(k) + 1
- 8 (- ---------------- - --------------------------------) - ----------
4 2 SIN(k)
4 SIN (k)
(COS(k) + 1) (------------- + 4)
2
(COS(k) + 1)
になりました。maximaで計算結果を簡単な形で表現させることはできないのでしょうか。

回答No.1

KENZOU

grothendieckさんお久しぶりです。KENZOUです。
以下、ご参考まで。

＞∫dk(cos(2k)-1)/(cos(k)-1)　の不定積分をを私が計算すると2sin(k)+2k になりましたが、maximaに計算させると
Mathematicaで計算させる（下記URLでMathematicaの積分計算サービスをしています）とgrothendieckさんが導出された式と同じ式になりました。ついでに
∫dk(cos(kx)-1)/(cos(k)-1)
の不定積分も計算させると恐ろしく長い式となりました。
cos(2k）とcos(kx)を取り間違えられたということはないと思いますが。。。（←でなかったらすみません）。

参考URL：

http://www.integrals.com/index.ja.cgi

お礼

ご回答ありがとうございます。少し記号を変えて
　∫dθ(cos(ｍθ)-1)/(cos(θ)-1)
の計算をします。exp(iθ)=z　とおくと
　(cos(ｍθ)-1)/(cos(θ)-1)=((z^m - 1)/(z-1))^2 /z^(m-1)
mが0以上の整数のとき上の式は
　(z^(m-1) + z^(m-2) +…+1)^2 /z^(m-1)
=z^(m-1) + 2z^(m-2) +…+ m+…+ 2z^(2-m) + z^(1-m)
=2cos(m-1)θ + 4cos(m-2)θ +…+ 2(m-1)cosθ + m
なので
　∫dθ(cos(ｍθ)-1)/(cos(θ)-1)
　=(2/(m-1))sin(m-1)θ + (4/(m-2))sin(m-2)θ +…+ 2(m-1)sinθ + mθ
となってできました。ｍが整数でない時には有限項で切れないので超幾何関数などになるのでしょう