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振動の問題についての解答はどちらが正しいでしょうか？
- 質問者は振動の問題についての解答に関して疑問を持っています。具体的には、式(1)と式(2)のどちらが正しいかを尋ねています。
- 質問者は自身の解答が正しいと考えていますが、積分定数が含まれており、初期条件が必要かどうか疑問を抱いています。
- また、過去の年の問題でも積分定数が残ることがあり、このような問題では固有振動数に対する解に積分定数を含める必要があるのか疑問を持っています。質問者は解説を求めています。
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質問者が選んだベストアンサー
>定常応答というのは十分時間が経過した時の応答ということですよね？ 力学に限らず「定常」という用語は、「十分時間が経過した」ではなく「時間変化しない」という意味で使う用語です。 今回の質問では、周期的な入力を加えていますので、ある周期の応答とその次の周期の応答(従って、任意の周期の応答も)が一緒であるような応答の事を「定常応答」と呼びます。 ご質問の冒頭にある前者の式はこの条件を満たしていないので定常応答ではないのですね。 現実の系を想定する限り「十分時間が経過」すれば、いつかは「時間変化がなくなる」ので、 「十分時間が経過した時の応答」が定常応答であるという理解も正しいです。 >でもこの場合dx/dtに比例する項がないので0に収束しないのではないでしょうか？ 確かにこのモデルでは0に収束はしませんが、 「十分時間が経過すれば定常応答になる」のは摩擦などの外乱によって理解されますので、 t→∞の極限で定常応答に収束させたいのであれば、摩擦などの外乱がある運動方程式を立ててその解を求める必要があります。 摩擦がない時を想定したい場合には、摩擦がある時を考えておいて最後に摩擦→0の極限をとるというような処理がよくやられます。摩擦がない場合をこう扱う事にしておけば、 >e^(-αt)(C1cos(Ωt)+C2sin(Ωt)) この式でt→∞の極限をとった後にα→0(摩擦→0)の極限をとる事になりますので、0に収束する事が確認できると思います。 >教科書をみると同次方程式の一般解の部分は時間とともに小さくなるということは書いてありましたが，これは数学的にどういう理由によるものなのでしょうか？ 数学的には多分そうはならないと思いますが、物理的な理由としては、 「同次方程式の一般解の部分」は、外界からの入力(今の問題ならばね上端の振動)が無い時の解を表していますので、十分時間が経過すれば静止しなければいけません(でなければ永久機関が作れてしまう)。従って、このような十分時間が経過した時も扱いたいのであれば、t→∞の極限で静止する解しか持たない運動方程式を採用する事が要請されます。 >この場合でも定常応答というのは特解のことを指すのでしょうか？ 初期条件の情報を含む項が残っているのなら「定常応答」とは呼べませんので、 定常応答が定義できる限り、特解が定常応答だと考えて問題ないはずです。 ただ、細かい事を言えば微分方程式の解(ご質問の式で言えばC1,C2に具体的な値を代入したもの)なら全て「特解」で、特解が定常応答という言い方は本当は適切ではないです。
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- eatern27
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「定常応答」として適切なのは後者ですね。(疑問点とは関係なさそうなのでsinの係数などが正しいかは調べてませんが) ※前者が定常応答でない理由が分からないのであれば、定常応答とは何か補足へ書いてください。
お礼
すいません補足を書いてから考えたのでここに書かせて頂きます 運動方程式中にdx/dtに比例する項，つまり抵抗力がある時は同次方程式の一般解が e^(-αt)(C1cos(Ωt)+C2sin(Ωt))という形になるのでt→∞で0に収束するのは納得できます でもこの場合dx/dtに比例する項がないので0に収束しないのではないでしょうか？ この場合でも定常応答というのは特解のことを指すのでしょうか？
補足
定常応答というのは十分時間が経過した時の応答ということですよね？ つまりt→∞で C1cos(Ωt)+C2sin(Ωt)→0 ということでしょうか？ 教科書をみると同次方程式の一般解の部分は時間とともに小さくなるということは書いてありましたが，これは数学的にどういう理由によるものなのでしょうか？
お礼
とても丁寧に詳しく解説をしてくださりありがとうございました． 院試は無事終えることができました． 回答してくださりありがとうございました．