確率の問題、解説お願いします

質問

こちらの問題の、答えを導きだす考え方がわかりません。
恐れ入りますが、詳しい解説をお願いします。

[問題]５本のうち1本のあたりのくじを5人が順番に引く。あたりを引いたものを代表者とし、1人の代表者を決める。次の問いに答えなさい。
（１）引いたくじを元に戻さないとき、３人目が当たる確率はいくらか。
（２）引いたくじを元に戻さないとき、３人目が当たる確率はいくらか。
（３）同じくじを使って、代表に加えて副代表も決める。最初にあたりをひいた人を代表とし、引いた時点であたりくじだけ元に戻し、2回目にあたりくじを引いた人を副代表とするとき、２人目が代表、５人目に引く人が副代表になる確率はいくらか。

回答No.3

noname#222520 · ベストアンサー

ANo.1の回答者です。

[問題]が、最初に当たりを引いた者を代表者とするのであれば、訂正後の「(2)引いたくじを元に戻すとき、3人目が当たる確率」は、
4/5*4/5*1/5=16/125

このように考えないと、ANo.1では代表者が複数出ることにもなり、おかしくなりますね。

お礼

ありがとうございます！
正解は16/125で、その考え方がわからなかったのですが、最初に当たりを引いた者を代表者とするということだったのですね。私、国語力が足りなかったのかも・・

回答No.2

noname#223065

> （１）引いたくじを元に戻さないとき、３人目が当たる確率はいくらか。
> （２）引いたくじを元に戻さないとき、３人目が当たる確率はいくらか。

　同じ問題になっていますが、これは「引いたくじを元に戻すとき」と「引いたくじを元に戻さないとき」ではないでしょうか。そうだとして続けてみます。

・引いたくじを元に戻す場合

　常に5本中1本ですから、3人目だけでなく誰でも1/5の確率ですね（※ただし2人～全員が当たりくじを引く可能性もある）。

・引いたくじを元に戻さない場合

　場合分けが必要になります。1～2人目までで、引いたくじが当たりとはずれの場合で、以降が異なってくるからです。

1人目：当たり1/5、はずれ4/5
2人目：（くじが1つ減って、4本から1本を選ぶ）
　1人目が当たりの場合は当たりが0/4、1人目がはずれの場合は当たりが1/4
（2人目が当たる確率は1人目の確率を考慮して、(1/5)×0/4＋(4/5×1/4)=1/5）

3人目：（くじ3本から選ぶ）
　1人目が当たりのときは、0/3（このケースは確率1/5で生じる）
　1人目がはずれで2人目が当たりのときは、0/3（このケースは確率(4/5)×(1/4)=1/5で生じる）
　1人目がはずれで2人目もはずれのときは、1/3（このケースは確率(4/5)×(3/4)=3/5で生じる。確率は1-1/5-1/5=3/5とも計算できる）

　3人目が当たる確率は、(1/5)×(0/3)＋(1/5)×(0/3)＋(3/5)×(1/3)=1/5となります。

（4人目、5人目も同様に計算でき、みんな当たり確率1/5であることが分かる。）

　経験的にもくじを1本ずつ引いて戻さなくても（普通そうする）、公平平等だと思ってやっていますよね。数学的に検証しても、このように誰もが1/5の確率になって平等であると証明できるわけです。

> （３）同じくじを使って、代表に加えて副代表も決める。最初にあたりをひいた人を代表とし、引いた時点であたりくじだけ元に戻し、2回目にあたりくじを引いた人を副代表とするとき、２人目が代表、５人目に引く人が副代表になる確率はいくらか。

　2人目が当たる確率が1/5であることはもう計算してありますから、改めて計算しなおさなくてもいいでしょう。ですから、その確率1/5のこと（事象）が起こったとして、3人目以降がどうなるかを考えればよいです。

　くじが2本引かれて3人目になって、かつ2人目が引いた当たりくじは元に戻されていますから（※ 2人目が当たりを引いた前提で考える点に注意）、くじは4本あり、その中に当たりくじが1本あります。

　こうなると、さっき3人目が当たる確率を求めたのと同じです。誰でも当たる確率は1/4です。5人目だって1/4となります。

　しかし、このことが「1/5の確率で2人目が当たりくじを引いた」場合であることを考慮する必要があります。ですから、確率は(1/5)×(1/4)=1/20となります。

P.S.

　まず代表、続いて副代表をランダムに決めるとして考えてみます。2人目が代表、5人目が代表になる確率はいくらになるか。

　まず代表を選ぶとして、5人から1人選ぶのですから、誰もが確率1/5で、2人目も当然ですが1/5です。

　副代表は残る4人から1人選ぶのですから、やはり誰もが確率1/4で、5人目も確率1/4。

　2人目が代表で、5人目が副代表になるのは、(1/5)×(1/4)=1/20となります。

　さっき求めたのと一致してくれていますが、ちょっと考えるとおかしく思える点があります。

　ルールは「くじを引いて行って、最初に当たりを引いた人が代表」なのでした。すると、5人目が最初に当たりを引いてしまう可能性も確率1/5でありますね。単純に考えると、この5人目がくじを元に戻しても、もうくじを引く人は残っていません。ですから副代表が選べない。

　仮に、5人目がくじを戻して、最初の1人目からまたくじを引いていくと、代表になった5人目を除いた4人に対して5本のくじ（当たり1本）を引くことになります。すると、誰も当たらないことがあり得ます。くじが人数より多いですから。

　でも、問題文で「最初に2人目が当たりを引いた」ということが与えられているので、2人目が当たりを引かなかった場合（例えば5人目が当たりを引く場合）は考えなくてよいのです。つまり、2人目が代表になる場合だけを考えればいいので、ランダムに代表、次に副代表を選んだ場合と確率が一致してくれるのです。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。とてもよくわかりました！

回答No.1

noname#222520

(1)引いたくじを元に戻さないとき
4/5*3/4*1/3=1/5
なお、この場合には、何番目にくじを引いても、当たる確率は全員が等しく1/5ずつになります。

(2)引いたくじを元に戻すとき（[問題]を訂正）
この場合には、くじは常に当たりが1本、外れが4本の計5本になるので、やはり当たる確率は全員が等しく1/5ずつになります。

(3)
2人目が代表になるためには1人目が外れるので、この確率は、4/5
外れくじは元に戻さないので、2人目が代表になる確率は、4/5*1/4=1/5
この時点で、くじは当たりが1本、外れが3本の計4本になるので、
3人目と4人目が外れて5人目が当たる確率は、3/4*2/3*1/2=1/4
よって、2人目が代表、5人目に引く人が副代表になる確率は、1/5*1/4=1/20