中学受験算数 ３つの不定方程式

質問

《問題》A、B、C３種類の品物があります。Aは一個48円、Bは１個36円、Cは１個24円です。２４０円の所持金を全部つかって３種類とも買うとき、A、B、Cをそれぞれ何個づつ買うことができますか。すべての場合を書きなさい。
《回答》（A,B,C)=(3,2,1),(2,2,3),(1,4,2),(1.2.5)

このような問題の解き方で、最初に着目するポイントがよくわかりません。
支払った金額の１０の位の数字に着目して…、BとCの値段の合計が５の倍数であることに着目して…、偶数、奇数に着目して…などいくつかのパターンから２つの不定方程式にもっていって解くようなのですが、やはり最初の着目点がわかりません。

どなたか、わかりやすい説明をお願いいたしますm(_ _)m

回答No.4

noname#227653 · ベストアンサー

こういう問題では、まずすべての数を公約数で割ってなるべく単純な数にしてしまう方が楽です。この場合12で割れますね。Ａは一個４円、Ｂは一個３円、Ｃは一個２円で、所持金は20円となります。これは中学受験の算数でしばしば使われる手です。

次に、Ｂは偶数個買うしかないので（奇数個買うと残金も奇数になり、ＡもＣも買えません）、まずＢを２個買った場合を考えます。２個で６円、残りは14円ですから、Ａを１個買えばＣは５個買え、Ａを２個買えばＣは３個買え、Ａを３個買えばＣは１個買えます。
同様に、Ｂを４個買った場合、残りは８円ですからＡを１個買えばＣは２個買えます。
Ｂを６個買うと残りは２円ですからＡは買えません。
というわけで答えは上記の４通りですね。

中学受験の場合、こういう問題は方程式を書くより（書いてはいけないわけではありませんが）このような解き方の方が生徒に理解してもらいやすいと思いますよ。

お礼

ありがとうございます！
とても分かりやすい説明でした！
理解がすすみました！

回答No.6

holydevil

No1です。
今回の問題は12の倍数であるところに気が付く必要があります。
別に、2の倍数、3の倍数、4の倍数どれでもいいのですが、最も簡単な
式に落とし込むためには、登場する数字の最大公約数を探しましょう。

お礼

ありがとうございます！
着目するところが、だんだんわかってきました！

回答No.5

178-tall

{A, B, C} を {a, b, c} 個づつ買うシナリオ。

　48a + 36b + 24c = 240
　　　　　↓ 12 で通約
　4a + 3b + 2c = 20
　　　　　↓
　b + 2D = 20　：　D = 2a+b+c　…(1)

(1) の一解、
　b=20, D=0
と一般解、
　b = 20 - 2k, D = 0 + k
(k は任意整数。チェックしてミ)

(非零) 自然数の一般解は、
　{b, D} = {4, 8} & {2, 9}
　　　　↓
　{4, 8} → D = 2a+b+c = 8 → 2a+c=4 → {a, c} = {1, 2}
　{2, 9} → D = 2a+b+c = 9 → 2a+c=7 → {a, c} = {3, 1} & {2, 3} & {1, 5}
(解き方は (1) と同様…)

お礼

ご回答ありがとうございます！
参考になりました！

回答No.3

noname#222520

ANo.2の補足です。

3種類とも最低1個ずつは買うと残りは132円になり、この132円でAをa個、Bをb個、Cをc個買うとすると、
48a+36b+24c=132
12(4a+3b+2c)=12*11
4a+3b+2c=11
ANo.2における「4の倍数と3の倍数と2の倍数の和は11（奇数）になるので」とは、この関係が成り立つということです。

そして、4の倍数と2の倍数は必ず偶数になるので、4の倍数と3の倍数と2の倍数の和が11（奇数）になるためには、3の倍数は3（3*1）または9（3*3）でなければなりません。

・3の倍数が3のとき（Bが1個のとき）
11-3=8=4*2=4*1+2*2=2*4
8=4*2は、Aが2個、Bが1個、Cが0個のときです。
8=4*1+2*2は、Aが1個、Bが1個、Cが2個のときです。
8=2*4は、Aが0個、Bが1個、Cが4個のときです。
これらは、最低1個ずつ買う分を除いた個数になるので、最低1個ずつ買う分を含めると、
(A,B,C)=(3,2,1),(2,2,3),(1,2,5)

・3の倍数が9のとき（Bが3個のとき）
11-9=2=2*1
これは、Aが0個、Bが3個、Cが1個のときで、同様に最低1個ずつ買う分を除いた個数になるので、最低1個ずつ買う分を含めると、
(A,B,C)=(1,4,2)

お礼

ありがとうございます！
理解がすすみました！

回答No.2

noname#222520

A：48=12*4、B：36=12*3、C：24=12*2
3種類とも最低1個ずつは買うので、残りは、240-(48+36+24)=132円
上で示したように、48と36と24の最大公約数は12であるから、この132を12で割ると、
132/12=11
これから、4の倍数と3の倍数と2の倍数の和は11（奇数）になるので、3の倍数は3（3*1）と9（3*3）のときだけになります。

・3の倍数が3のとき（Bが1個のとき）
11-3=8=4*2=4*1+2*2=2*4
これらは、それぞれ、Aが2個、Aが1個でCが2個、Cが4個のときに対応
さらに、最低1個ずつ買う分を含めると、
(A,B,C)=(3,2,1),(2,2,3),(1,2,5)

・3の倍数が9のとき（Bが3個のとき）
11-9=2=2*1
これは、Cが1個のときに対応
さらに、最低1個ずつ買う分を含めると、
(A,B,C)=(1,4,2)

回答No.1

holydevil

こういう問題は
12*20＝12（4X+3Y+2Z）
20＝４X+3Y+2Z
簡単な式にして考えてください。
あとはよくある中学入試のパターンで組みあわせを全通り考えるだけです。

補足

ご回答ありがとうございます。
質問の仕方がややこしくなってしまっていました。すみません。

この問題は、「Aが１個18円、Bが１個15円、Cが１個２５円。３００円の所持金を使い切って３種類とも買うとき、A,B,Cは何個づつか？」という問題の類題となっていると思うのです。こちらの場合は所持金３００円を使いきるために５の倍数に着目してAが５の場合、１０の場合に分けて他２つの不定方程式で解いていく、というものでした。

今回はどこに着目すれば１つをある程度限定して、他２つの不定方程式に持ち込めるのかが思いつかないのです。

２４０円を使いきる→２の倍数で？、３の倍数で？、５の倍数で？
A48→２の倍数、３の倍数、
B36→２の倍数、３の倍数
C24→２の倍数、３の倍数

…自力でできませんm(_ _)m