整数問題

質問

正の整数a,b,cが
2a-3b＝0・・・(1)
2a-5c＝1・・・(2)
を満たしている。
(1),(2)を満たすaの最小の正の値はアである。
また、(1),(2)より
2(a-イ)＝ウ(b-エ)＝オ(c-カ)
が成り立つので、
a-イは2桁の整数キクの倍数である。

(1),(2)から
2a＝3b
2a＝5c+1

2aは偶数だから3bが偶数になるにはbが偶数であればよいからbの取り得る値はb＝2,4,・・・・

同様に5c+1が偶数になるにはcが奇数であればよいからcの取り得る値は
c＝1,3,・・・・

a,b,c,の対応表をb＝6までつくったところ
(1),(2)を満たすaの最小の正の値は3となりました。

これ以降が全く分からないので、どなたか教えて下さい。

回答No.1

debut · ベストアンサー

2a=3bと2a=5c+1から、これらを１つに結んで、
2a=3b=5c+1
解答に与えられた形から、各辺からある数を引いて
すべてが因数分解されるようにできることが
わかります。引く数をｋとしてみれば、
2a-k=3b-k=5c+1-k
2(a-k/2)=3(b-k/3)=5{c-(k-1)/5}
k/2,k/3,(k-1)/5の部分は解答の記号から１けた
の整数なので、k は2と3の公倍数で、しかもk-1は
5の倍数です。
k=6,12,18のうち、k=6のときk-1=5,k=12のとき
k-1=11,k=18のときk-1=17ということから、k=6
とわかります。
よって、2(a-3)=3(b-2)=5(c-1)。
すると、b-2もc-1も正の整数なので、a-3が何の
倍数でなければならないかは見えてきます。

ということでいいのでしょうかね？

お礼

夜遅くに回答ありがとうございました。
b,cの取り得る値を考慮して表を書いたら、a-3は15の倍数ということが
分かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

good777

正の整数a,b,cが
2a-3b＝0・・・(1)
2a-5c＝1・・・(2)
を満たしている。
(1),(2)を満たすaの最小の正の値は3である。
また、(1),(2)より
2(a-3)＝3(b-2)＝5(c-1)
が成り立つので、
a-3は2桁の整数15の倍数である。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

razumihin

(1)から
　　a=(3/2)b　・・・ (1)
(2)から
　　a=(5/2)c+1/2　・・・ (2)
ここで　2(a-イ)＝ウ(b-エ)＝オ(c-カ)　ですので、2(a-イ)＝ウ(b-エ)と 2(a-イ)＝オ(c-カ) とに分けて考えます。

前者より
　　　2(a-イ)＝ウ(b-エ)
(1)を代入して
　　　2((3/2)b -イ)＝ウ(b-エ)
(※(2)ではなく(1)を代入するは文字をbだけにするため)
3b-2*イ＝ウ*b-ウ*エ
両辺を見比べると、左辺のbの係数が3なので当然右辺のbの係数も3。従って　ウ＝3　。すると上式は
3b-2*イ＝3b-3*エ
　　　∴2*イ＝3*エ　・・・(3)

次に後者より
　　　 2(a-イ)＝オ(c-カ)
(2)を代入して
　　　2((5/2)c+1/2-イ)＝オ(c-カ)
5c+1-2*イ＝オ*c-オ*カ
両辺見比べるとcの係数は5なので　オ＝5 。従って上式は
　　　　 5c+1-2*イ＝5c-5*カ
両辺から5cを引くと
1-2*イ＝-5*カ
両辺移項して書き直すと
5*カ＝2*イ-1
これより左辺は5の倍数ですので、右辺も5の倍数。右辺が5の倍数になるようにイを1から9の間で選ぶと　イ＝3　のとき
　　　　　　　5*カ＝2*3-1＝5
となりＯＫ。また上式より　カ＝1　。また　イ＝3　を(3)に代入すると
　　　　　　　2*3＝3*エ
∴　エ＝2

以上より　2(a-3)＝3(b-エ)＝5(c-カ)　。これより　2(a-3)　は3と5の倍数でなければならない。
従って　(a-3)　は15の倍数になります。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。
参考にさせていただきます。