中学受験算数 不定方程式

質問

《問題》１個160円のりんご、一個150円のもも、一個120円のオレンジを合わせて何個か買ったところ全部で2300円になりました。３種類とも少なくとも１個は買いました。
りんごを５個買ったとするとももと、オレンジは何個買ったと考えられますか。考えられる組み合わせをすべて答えなさい。

以下の解き方の説明を受けたのですが、よくわかりません。
160×5=800
2300-800=1500

不定方程式で　150×a+120×b=1500
同じ数で割って5×a+4×b=50

５と４の最小公倍数が20　←？1

ももが10とするとオレンジが0

5×4=20だから10-4=6でももが6←？2
ももが6のときオレンジが5

6-4=2でももが2←？3
ももが2のときオレンジが10

よって（もも、オレンジ）は（6、5）と（2、10）

？１…なぜ最小公倍数を使うのか
？２、？3…なぜももの数から4を引いていくのか
どなたか、わかりやすい説明をお願いいたします。

回答No.2

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞？１…なぜ最小公倍数を使うのか

「モモをｍ個買った時の値段とオレンジをｎ個買った時の値段が等しくなるのは、ｍとｎが幾つの時か？」を求めたいからです。

なんで、そういう数値が欲しいかと言うと「モモをｍ個買う代わりに、オレンジをｎ個買っても、トータル金額が変わらないのは、ｍとｎが幾つの時か？」を知りたいからです。

なので「５と４の最小公倍数」の「２０」を求めて「２０を５で割る」と「ｍ＝４」が求まり、「２０を４で割る」と「ｎ＝５」が求まるのです。

つまり「モモを４つ減らしてオレンジを５つ増やせば、トータル金額が変わらない」という事が「最小公倍数が２０」という事から計算できるのです。

これが「最小公倍数を使う理由」です。

＞？２、？3…なぜももの数から4を引いていくのか

「最小公倍数２０」を求めた事により「モモを４つ減らしてオレンジを５つ増やせば、トータル金額が変わらない」という事が判っています。

なので「全部モモを買い、オレンジを買わない」という状態を最初に考えます。

「モモ１０個、オレンジ０個を買う」は「３種類とも少なくとも１個は買う」と言う条件に合わないので除外します。

「モモを４つ減らしてオレンジを５つ増やせば、トータル金額が変わらない」のが判っていますから「モモを４つ減らす代わりにオレンジを５つ増やす」ことにします。

すると「モモ１０⇒６個、オレンジ０⇒５個」と変化しても「金額は変わらない」ですから「モモ６個、オレンジ５個」という、１つ目の答えが出ます。

モモはまだ６個ありますから「もう４つ減らす」のが可能です。

すると「モモ１０⇒６⇒２個、オレンジ０⇒５⇒１０個」と変化しても「金額は変わらない」ですから「モモ２個、オレンジ１０個」という、２つ目の答えが出ます。

モモは「もう２個しかない」ので「これ以上減らせない」ので、これで終わりです。

結果「モモ６個、オレンジ５個」、「モモ２個、オレンジ１０個」という２つの答えがある事が判ります。

お礼

とても分かりやすい説明で頭がすっきりしました！
ありがとうございました！

回答No.1

f272

> 同じ数で割って5×a+4×b=50

ここまでたどり着いたら，「ももが10とするとオレンジが0」も簡単にわかる。
次に考えることは「ももが11とすると...」だろう。
ももを1だけ増やすと「5×a+4×b=50」つまり足した数が50で一定なのだからオレンジは減らす必要があることも当然です。しかしももを1だけ増やすと5×aは5だけ増えて，4×bを5だけ減らす必要があるけどそれは無理だよね。
じゃあ，「ももを2だけ増やすと...」を次に考えて，5×aは10だけ増えて，4×bを10だけ減らす必要があるけどこれも無理。
次は「ももを3だけ増やすと...」を考えて，5×aは15だけ増えて，4×bを15だけ減らす必要があるけどこれも無理。
次は「ももを4だけ増やすと...」を考えて，5×aは20だけ増えて，4×bを20だけ減らす必要があり，bを5減らせばよい。
と，このあたりまで試行錯誤をしていれば，最小公倍数を使うのもももの数から4を引いていくのかも当然だと理解できます。なにも試行錯誤をしないと不思議だなで終わってしまうのです。

お礼

ありがとうございます！
じっくり考えていくことで理解できるのですね。
すっきりしました！